Ciao!
Ho il seguente problema di Cauchy di una prova d'esame:
$ y'=e^(t-3y)+1/3 $
con la condizione iniziale $ y(0)=0 $
Non devo calcolare la soluzione associata all'equazione omogenea visto che è a coefficiente variabili, giusto?
Quindi devo usare la formula di risoluzione delle equazioni differenziale (a coefficienti variabili) $ y'(t)=a(t)y(t)+b(t) $ , cioè:
$ y(t)=y(0)e^(A(t))+e^(A(t))int_(t_0)^(t) e^(-A(s))b(s)ds $ .
dove $ A(t)=int_(t_0)^(t)a(s)ds $
Io ho provato a calcolare la soluzione applicando la formula e ho i seguenti risultati:
$ A(t)=int_(0)^(t) e^s ds = e^t -1 $
per cui
$ y(t)=e^(e^t-1) int_(0)^(t) e^(1-e^s)1/3 ds = 1/3e^(e^t)int_(0)^(t) e^(-e^s)ds $
a questo punto però non so più come andare avanti. Ho provato a sostituire $ e^s= z $ nell'integrale ma mi vien fuori $ int e^z/z dz $ che non riesco a risolvere...
Come potrei risolvere?
Grazie in anticipo