Equivalenza norme in R^n

[3m0o]

Avrei un dubbio sul punto 1 del seguente esercizio
Consideriamo lo spazio vettoriale \( \mathbb{R}^n \), munito della topologia indotta per la norma euclidea
\[ \forall x \in \mathbb{R}^n, \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2} \]

Sia \( N : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) un altra norma.
1. Dimostra che \( N \) è continua in \( 0 \)
2. Dedurre dal punto 1 che \( N \) è continua su \( \mathbb{R}^n \)
3. Dimostra che la norma \( N \) è equivalente alla norma euclidea
4. Dimostra che tutte le norme su \( \mathbb{R}^n \) sono equivalente una all'altra.

Inizialmente avevo pensato di fare così:
Scelto \( \epsilon = \delta \) risulta chiaro che \( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0\) tale che \( \forall x \in \mathbb{R}^n\) tale che \( N(x) < \delta \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} N(x) \end{vmatrix} = N(x) < \epsilon \)
Però dal momento che non ho ancora l'equivalenza tra la norma \( N \) e quella euclidea non penso che posso farlo, dovrei utilizzare questo vero
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0\) tale che \( \forall x \in \mathbb{R}^n\) tale che \( \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} < \delta \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} N(x) \end{vmatrix} < \epsilon \)
Ma con quest'ultimo non saprei come fare.

[fmnq]

Che ogni coppia di norme su uno spazio di dimensione finita siano equivalenti è un fatto abbastanza lungo da dimostrare nei dettagli, ma completamente elementare: http://mathonline.wikidot.com/equivalen ... near-space partiamo da qui.

[3m0o]

Che ogni coppia di norme su uno spazio di dimensione finita siano equivalenti è un fatto abbastanza lungo da dimostrare nei dettagli, ma completamente elementare: http://mathonline.wikidot.com/equivalen ... near-space partiamo da qui.

Beh il mio problema ora era relativo al punto 1. e al punto 2. non so se posso utilizzare la norma \( N \) nella definizione di continuità "non sapendo ancora" che è equivalente alla norma euclidea. In realtà, credo, che dimostrando che \( N \) è equivalente alla norma euclidea (non ci ho ancora pensato al come) è abbastanza immediato dimostrare che date due coppie di norme \( N \), \( M \) su \( \mathbb{R}^n \) sono equivalenti. Infatti se ho, dal punto 3, come ipotesi che \( N \) è equivalente alla norma euclidea, in quanto \( N \) è una norma arbitrariamente scelta, abbiamo che anche \( M \) è equivalente alla norma euclidea dunque, \( \exists \bar{c}_N,c_N , \bar{c}_M, c_M >0 \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R}^n\) abbiamo che
\( c_N \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} \leq N(x) \leq \bar{c}_N \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} \)
e
\( c_M M(x) \leq \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} \leq \bar{c}_M M(x) \)
Quindi
\( c_N c_M M(x) \leq N(x) \leq \bar{c}_N \bar{c}_M M(x)\)

[dissonance]

@3m0o: infatti la cosa fondamentale è proprio dimostrare il punto 1.

[3m0o]

@3m0o: infatti la cosa fondamentale è proprio dimostrare il punto 1.

Ma per dimostrarla posso fare così

Scelto \( \epsilon = \delta \) risulta chiaro che \( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R}^n \) tale che \( N(x) < \delta \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} N(x) \end{vmatrix} = N(x) < \epsilon \)

Oppure no?

[3m0o]

Che ogni coppia di norme su uno spazio di dimensione finita siano equivalenti è un fatto abbastanza lungo da dimostrare nei dettagli, ma completamente elementare: http://mathonline.wikidot.com/equivalen ... near-space partiamo da qui.

Non capisco la parte (13) e (14) con la sfera unitaria, perché il fatto che la sfera unitaria sia compatta e che \( f \) continua implica l'esistenza di un tale \( \delta \) ? E perché dice che \( \begin{Vmatrix} \xi \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{*} \) ?? Questo come mai prova che sono equivalenti? Non dimostra semplicemente che sono equivalenti sulla sfera unitaria?

[dissonance]

@3m0o: infatti la cosa fondamentale è proprio dimostrare il punto 1.

Ma per dimostrarla posso fare così

Scelto \( \epsilon = \delta \) risulta chiaro che \( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R}^n \) tale che \( N(x) < \delta \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} N(x) \end{vmatrix} = N(x) < \epsilon \)

Oppure no?

Così dimostri che \(N\) è continua rispetto alla topologia indotta da \(N\). Tu devi dimostrare che \(N\) è continua rispetto alla topologia indotta da \(\|\cdot\|\).

[3m0o]

Così dimostri che \(N\) è continua rispetto alla topologia indotta da \(N\). Tu devi dimostrare che \(N\) è continua rispetto alla topologia indotta da \(\|\cdot\|\).

Capito,
però se nelle ipotesi avessi che \( N \) equivalente alla norma euclidea potrei farlo, vero? In questo specifico caso no perché l'obbiettivo è proprio dimostrare che le norme sono equivalenti, ma in generale si?

[dissonance]

Certo.

[dissonance]

Ci sei riuscito? Non so se può servire, ma avrei un suggerimento: la chiave di tutto è questa disuguaglianza qui
\[
N(x)\le \sqrt{\sum_{j=1}^n N(e_j)}\sqrt{\sum_{j=1}^n |x_j|^2},\]
dove \(e_1, e_2, \ldots, e_n\) sono i vettori della base canonica di \(\mathbb R^n\), o di una qualsiasi altra base ortonormale, fissata a priori una volta per tutte. Questa disuguaglianza si ottiene facilmente applicando la disuguaglianza triangolare seguita da Cauchy-Schwarz.