Se $a_{n}$ è una successione di reali positivi risulta
\[
\liminf_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le \liminf_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le \limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
\]
La cosa che non mi spiego è che, dalle diseguaglianze sopra, sembra che il buon esito del criterio del rapporto implichi quello della radice
Ad esempio, se prendo una serie a termini positivi $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$, che converge per il criterio del rapporto, dovri avere
\[
\limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1
\]
Pertanto la serie converge anche per il criterio della radice. I
PS Invero, se il criterio della radice radice fallisce mi trovo che anche quello del rapporto fa lo stesso, essendo
\[
\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\ge\limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\ge 1
\]
