Spirale logaritmica.

[SirDanielFortesque]

So che ho già postato un problema simile ma in quel caso non era un coordinate polari. Non saprei come fare in questo caso:

Trovare le traiettorie ortogonali alle curve della famiglia $\rho=e^(a*\theta)$ date in coordinate polari

Il risultato dovrebbe essere

$\rho=e^(sqrt(c^2-\theta^2))$

Come si può fare?

[gugo82]

Buttandomi a caso: basta scrivere la condizione di ortogonalità in polari?

Poi, probabile che la cosa sia molto semplice se si riesce a dimostrare che la trasformazione di coordinate è una trasformazione conforme (servono un po’ di tecniche di variabile complessa).

[SirDanielFortesque]

Forse è oltre la mia portata.

Qua sul libro scrive:

$(d\rho)/(d\theta)=(\rho^2*F'_\rho)/(F'_\theta)$

ma non capisco da dove la prende questa relazione.

$F(\rho,\theta,a)=0$ è la famiglia data di curve.

[gugo82]

Non ho fatto i conti nella maniera "hard" che suggerisce il tuo testo, ma la risposta "soft" che avevo immaginato dovrebbe funzionare facile... Con un piccolo accorgimento.

Infatti, al posto delle coordinate polari, considero la trasformazione di coordinate:
\[
\begin{cases}
x = e^t\ \cos \vartheta \\
y = e^t\ \sin \vartheta
\end{cases}
\]
con $(t,\vartheta) in Omega:=RR xx ]-pi ,pi[$, la quale corrisponde alla trasformazione complessa $z=e^w$ (qui $z=x + mathbf(i) y$ e $w=t+mathbf(i)\vartheta$) che mappa l'aperto $Omega$ del piano di Gauss su tutto il piano di Gauss privato del semiasse reale non negativo.
Per noti fatti, la trasformazione $z=e^w$ è conforme, i.e. conserva gli angoli tra le curve¹, dunque per risolvere il problema basta studiare quali sono le curve ortogonali in $Omega$ alle curve della famiglia $t=a \vartheta$ ($a in RR$).
Poiché le curve $t=a\vartheta$ sono rette per l'origine, le curve ad esse ortogonali sono le circonferenze con centro in $O$, i.e. la famiglia di curve di equazione $t^2+\vartheta^2 = c^2$ (con $c>0$).
Da ciò segue che $t=+- sqrt(c^2 - \vartheta^2)$ e dunque $rho=e^(+- sqrt(c^2 - \vartheta^2))$.

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Note

1. In altre parole, se $gamma_1$ e $gamma_2$ sono curve tracciate in $Omega$ che si intersecano in $w_0$ formando un angolo orientato d'ampiezza $alpha$, le immagini $Gamma_1$ e $Gamma_2$ di $gamma_1$ e $gamma_2$ mediante la trasformazione $z=e^w$ si intersecano in $z_0=e^(w_0)$ formando un angolo orientato con la stessa ampiezza $alpha$. ↑

[SirDanielFortesque]

Grazie mille