Relazione tra derivailità e convergenza.

[galles90]

Def.
Una successione $a_n$, si dice di Cauchy, se per ogni $epsilon>0 \ exists nu \: \ m,p >nu$, si abbia $|a_m-a_p|<epsilon$.

Il punto che non mi torna è perchè considera un indice $k$ qualsiasi, non tipo indice $n+1$, come fatto prima.
Però adesso rileggendola, mi è venuto un flash

cioè questa $|u_(n+1)-u_n|$, non è di Caucgy
invece questa $|u_(n+k)-u_n|$ è di Cauchy, per quanto detto,

se è corretta come cosa, è molta rozza, per come l'ho formalizzata

[gugo82]

Al posto di $m$ puoi sostituire $p+k$ con $k in NN$ e non fai danno.

[galles90]

Quindi in sintesi, la differenza sostanziale tra questa $|u_(n+1)-u_n|$ e questa $|u_(n+k)-u_n|$ è più di forma che di sostanza, cioè, si vuole far vedere che l'ultima è una successione di Cauchy, non perchè la prima non lo sia, ma solo per portarsi nella forma di una successione di Cauchy, le quali quest'ultime convergono, è cosi ?

[gugo82]

No.
La differenza è proprio di sostanza.

Trova una successione tale che per ogni $epsilon >0$ esiste $ nu in NN$ tale che per $n > nu$ risulta $|u_(n+1) - u_n| < epsilon$ e che non converge (e quindi non è di Cauchy).

[galles90]

prendo come successione $u_n=(-1)^n$ la quale non converge, inoltre per ogni $epsilon > 0 $, si ha $|(-1)^n-(-1)^(n+1)|=0<epsilon$.
Non so se è questo quello che intendi, o meglio questo ho capito. Comunque non mi è molto chiara come cosa, cioè, voglio dire:
non poso prendere $k=1$, ed ottengo $|u_(n+1)-u_n|$, c'è qualcosa che non mi torna

[gugo82]

Certo, se la successione è di Cauchy, puoi farlo.
Il problema è che non tutte le successioni tali che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$ sono di Cauchy, cioè l’implicazione precedente non si inverte.


P.S.: Complimenti per il controesempio. Sai trovare una successione divergente tale che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$?

[galles90]

Quindi, forse ho capito "speriamo", la relazione che ha dimostrato nella prima parte, serve per avere una stima della relazione $|u_(n+1)-u_n|$, invece, nella seconda parte, usa la stima dimostrata in precedenza e dimostrata che scegliendo un $k in mathbb{N}$ qualsiasi, si ha la tesi. Ovviamente tutto questo non sarebbe necessario se la successione è di Cauchy. E' cosi ?

P.S.: Complimenti per il controesempio. Sai trovare una successione divergente tale che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$?

Grazie, detto da te vale ancora di più .
Comunque penso che sia $ln(n) to + infty$ per $ n to infty$, quindi $|ln(n+1)-ln(n)|=|ln( 1+1/n)| to 0, \quad n to infty.$