Relazione tra derivailità e convergenza.

[galles90]

Buongiorno,
ho la seguente proposizione,, che dimostra quando una successione definita come nel punto 1. sia convergente, ovviamente, ci sono vari passaggi che non mi sono molto chiari, vi riporto quanto scritto sulla dispensa:

Considero la successione
$f:I to I $
1. $u_o in I, \ qquad u_(n+1)=f(u_n)$.
Prop. Se $f$ derivabile e $|f'| le L<1 \ qquad x in I= [a,b]$, allora la successione al punto 1. è convergente.

Dimostrazione:

Per il teorema di Lagrange e per il punto 1. si ha $|u_(n+1)-u_n|=|f(u_n)-f(u_(n-1))|=|f'(c_n)||u_n-u_(n-1)|$,
con $c_n$ compreso $u_n, u_(n-1)$. Per ipotesi si ha $|u_(n+1)-u_n| le L |u_n-u_(n-1)|$, quindi induttivamnete si ha
$|u_(n+1)-u_n| le L^n |u_1-u_0|$.

La dimostrazione continua, il punto che non mi è molto chiaro è l'ultima relazione, cioè come faccio ad avere induttivamnete quanto scritto, sarà una banalità, ma non mi torna.

Ciao

[gugo82]

Al secondo membro c’è $L^n |u_1 - u_0|$.

[galles90]

Si, l'ho corretta.
Si ha, se $0<L<1$, allora $L^n<L$ per ogni $n in mathbb{N}.$ Quindi si dovrebbe vedere $L^n|u_1-u_0|le L|u_n-u_(n-1)|$,
cioè verificare che $|u_1-u_0|le |u_n-u_(n-1)|$ ?

[gugo82]

Non ti serve a nulla quello che hai scritto.

Fatti una dimostrazione per induzione.

[galles90]

gugo82,

quindi dobbiamo ragionare cosi " almeno credo", sia:
$|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$ per induzione dobbiamo verificare $|u_(n+1)-u_n|le L^n|u_1-u_0|$.
Verifico che è vera per $n=1$, quindi $|u_2-u_1|le L|u_1-u_0|$, la quale è vera.
Per cui supposta vera la relazione

$|u_(n+1)-u_n|le L^n|u_1-u_0|$,

per un certo indice $n in mathbb{N}$, dobbiamo verificare che è vera anche $n+1$, cioè che risulti vera:

$|u_(n+2)-u_(n+1)|le L^(n+1)|u_1-u_0|.$

Essendo che vale $|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$, allora $|u_(n+2)-u_(n+1)| \le L |u_(n+1)-u_n|le L^(n+1)|u_1-u_0|.$

Cosi va bene ??

[gugo82]

E sì…

Vedi galles90, questo è un tipico esempio di come si ricava da una relazione ricorrente una non ricorrente. Si sfrutta la ricorrenza procedendo all’indietro finché si può, determinando una relazione non ricorrente; poi si dimostra per induzione che la relazione non ricorrente è soddisfatta dalla successione definita dalla ricorrenza.
In proposito, trovi alcuni esercizi qui.

[galles90]

E sì…

Vedi galles90, questo è un tipico esempio di come si ricava da una relazione ricorrente una non ricorrente. Si sfrutta la ricorrenza procedendo all’indietro finché si può, determinando una relazione non ricorrente; poi si dimostra per induzione che la relazione non ricorrente è soddisfatta dalla successione definita dalla ricorrenza.
In proposito, trovi alcuni esercizi qui.

Grazie gugo82, per la tua saggezza

Vediamo se ho capito, la relazione ricorrente in questo caso è $|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$, invece quella che si è ottenuta, la quale non è ricorrente è $|u_(n+1)-u_n|leL^n|u_1-u_0|$ ?

[gugo82]

Già.

[galles90]

Buongiorno gugo82,

sembra di aver capito quello che hai detto, quindi, continuo la dimostrazione:

Per riprendere la dimostrazione, riscrivo:

1)

$|u_(n+1)-u_n| le L^n |u_1-u_0|$

Abbiamo

$|u_(n+k)-u_n| le |u_(n+k)-u_(n+k-1)|+...+|u_(n+1)-u_n|$

quindi per la 1) si ha

$|u_(n+k)-u_n | le L^k(L^(k-1)+...+1)|u_1-u_0|$

dove in particolare

$L^n(L^(k-1)+...+1)=sum_(k=1)^(n)L^k<1/(1-L)$

pertanto si ha

$|u_(n+k)-u_n |<L^n/(1-L)|u_1-u_0|$

Poichè $L<1$ la successione è di Cauchy, per cui è convergernte.

Il passaggio che non mi è molto chiaro è la diseguaglianza, cioè, se vuole dimostrare che la quantità a primo membro è una successione di Cauchy, non anadava bene la quantità a primo membro della 1), oppure, vuole far vedere che vale per un indice $k$ qualsiasi, purchè sia scelto maggiore di indice $nu_(epsilon)$.

Ciao

[gugo82]

Qual è la definizione di successione di Cauchy?