Siano \( f,g \in C^1(\mathbb{R}^n ) \) e \( \Sigma_g := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : g(\mathbf{x})\geq 0 \} \)
Supponiamo che \( \nabla g \neq 0 \) quando \( g= 0 \). Supponiamo che \( f \) ammette un minimo locale su \( \Sigma_g \) e notiamo \( x^* \in \Sigma_g \) il punto dove è raggiunto questo minimo locale. Per tutti gli \( (\mathbf{x},\lambda) \in \mathbb{R}^{n+1} \) definiamo \( \mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda) = f(\mathbf{x})-\lambda g(\mathbf{x}) \) la funzione lagrangiana.
Dimostra che esiste \( \lambda^* \) tale che \( (\mathbf{x}^*,\lambda^*) \in \mathbb{R}^{n+1} \) che soddisfa le condizioni seguenti
\( \nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L}(\mathbf{x}^*, \lambda^*) = 0 \)
\( \lambda^* \geq 0 \)
\( \lambda^* g(\mathbf{x}^*) =0 \)
Io ho pensato a questo
Per la condizione necessaria di ottimalità abbiamo che se \( g(\mathbf{x}^*) = 0 \) allora abbiamo che \( \nabla g(\mathbf{x}^*) \neq 0 \) dunque esiste \( \lambda^* \in \mathbb{R} \) tale che \( \nabla f(\mathbf{x}^*) = \lambda^* \nabla g(\mathbf{x}^*) \), pertanto è evidente che
\[ \nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L}(\mathbf{x}^*, \lambda^*) = \nabla f(\mathbf{x}^*) - \lambda^* \nabla g(\mathbf{x}^*) =\lambda^* \nabla g(\mathbf{x}^*) - \lambda^* \nabla g(\mathbf{x}^*)= 0 \]
e \( \lambda^* g(\mathbf{x}^*)=0 \)
(non so come dimostrare che \( \lambda^* \geq 0 \) )
Se \( g(\mathbf{x}^*) > 0 \) allora \( \lambda^* = 0 \) soddisfa
\( \lambda^* = 0 \geq 0 \),
\( \lambda^* g(\mathbf{x}^*) = 0 \)
Ma non so come dimostrare che \( \nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L}(\mathbf{x}^*, \lambda^*) = 0 \) infatti
\( \nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L}(\mathbf{x}^*, \lambda^*) = \nabla f(\mathbf{x}^*) - \lambda^* \nabla g(\mathbf{x}^*) =\nabla f(\mathbf{x}^*) \)
Cioé dovrei dimostrare che \( \mathbf{x}^* \) è un minimo di \( f \) su \( \mathbb{R}^n \) e non solo un minimo sulla condizione \( g(\mathbf{x}) \geq 0 \) perché altrimenti non ho la certezza che \( \nabla f=0 \)
O sbaglio?