Buongiorno,
volevo avere alcuni chiarimenti sulla risoluzione di esercizi relativi alla convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Ho un esercizio che recita:
Data $\f_n(x) = n^alpha(1-x^2)^nx+(sen(nx))/sqrt(n)$ con $f_n : [0, 1] -> RR$, $\n in NN \ {0}$ ed $\alpha in RR$. $\f$ è il limite puntuale di $\f_n$ ove esiste ed è finito. Verificare:
1) $\f_n -> f$ uniformemente su $\[0, 1] Leftrightarrow alpha < 1/2$
2) Se $\alpha <= 0$ allora $\f_n -> f$ puntualmente su $\[0, 1]$ e $\lim_(n->+oo)int_{0}^{1}f_n(x)dx = int_{0}^{1}f(x)dx$
Ho studiato la teoria relativa, ma ho ancora dei dubbi. So che, affinché una successione di funzioni sia puntualmente convergente il $\lim_(n->+oo)f_n(x) = f(x)$, dove $\f(x)$ è il limite puntuale della successione di funzioni, che nel mio caso dovrebbe essere pari a zero (sbaglio?).
Una successione di funzioni invece è uniformemente convergente se $\lim_(n->+oo)[$sup$\|f_n(x) - f(x)|] = 0$, dove $\f(x)$ è sempre il limite puntuale, quindi nel mio caso zero. Come dovrei fare questo limite? Io pensavo di calcolare la derivata prima della funzione per trovare il massimo di $\f_n(x)$ poiché, come già detto, in questo caso $\f(x) = 0$. A questo punto dovrei fare solo il limite. Alternative?
In ultimo la parte relativa all'integrale della seconda domanda. Come la dimostro? Sapendo che $\int_{0}^{1}f(x)dx = 0$ devo dimostrare quindi solo che: $\lim_(n->+oo)int_{0}^{1}f_n(x)dx = 0$, giusto?
Ringrazio tutti per le risposte in anticipo!