Massimo e minimo limite.

[galles90]

Buongiorno e buon appetito visto l'orario

Ho il seguente problemino, cioè, considero una successione limitata $a_n$ e posto

$l'=minlim_(n to infty )a_n \ qquad l''=maxlim_(n to infty)a_n$,

comunque si fissi $epsilon>0$, allora si ha definitivamente

$l'-epsilon<a_n<l'' + epsilon$.

Procedo cosi,considero i seguenti insiemi:
$A={x in mathbb{R}:a_n le x,\ n ge k}$
$B={y in mathbb{R}:a_n ge y, \ n ge k }$

essendo che la successione è limitata, esistono i rispettivi estremo inferiore $l''$ di $A$ ed estremo superiore per $l'$ di $B$. quindi necessariamente si ha

$l' le a_n le l'' $.

Sia dunque un $epsilon>0$ abbiamo

$l'+epsilon<a_n<l''+epsilon$

dai teoremi sul massimo e minimo limite si ha, in particolare quello sul minimo limite, che $a_n>l'-epsilon$, allora anche

$l'-epsilon<a_n<l''+epsilon$

E' corretta ?

Ciao

[gugo82]

Non basta usare le proprietà caratteristiche?

[galles90]

Ciao gugo82,
come sempre grazie per la risposta e per la tua disponibilità, comunque, riporto le proprietà caratteristiche del massimo e minimo limite.
Prendo in considerazione sempre i due insiemi $A,B$. Per come sono stati definiti, necessariamente, esistono i rispettivi valori $l'', l'$ estremo inferiore e superiore:
Massimo limite
Un numero $l''$ è il massimo limite della successione $a_n$ se e soltanto se:
comunque si fissa $epsilon>0$, il numero $l''+epsilon$ è un maggiorante della successione mentre il numero $l''-epsilon$ non è definitivamente maggiorante della successione, cioè vuol dire che
1) sia $epsilon>0$, è possibile determinare un indice $nu$ tale che, per ogni $n>nu$, riesca

$a_n<l''+epsilon$.

2) comunque si fissa un $epsilon>0$ esistono infiniti indici $n$ per i quali

$a_n>l''-epsilon$.

Minimo limite
Un numero $l'$ è il minimo limite della successione $a_n$ se e soltanto se:
comunque si fissa $epsilon>0$, il numero $l'-epsilon$ è un minorante della successione mentre il numero $l'+epsilon$ non è definitivamente maggiorante della successione, cioè vuol dire che
1) sia $epsilon>0$, è possibile determinare un indice $nu$ tale che, per ogni $n>nu$, riesca

$a_n>l'-epsilon$.

2) comunque si fissa un $epsilon>0$ esistono infiniti indici $n$ per i quali

$a_n<l'+epsilon$.

Quindi, dalla definizione di $A,B$ si ha che $l'le l''$, inoltre, tenendo presente le proprietà caratteristiche, si ha
$l'-epsilon<a_n<l+epsilon$. In sintesi basta tener presente questo $l'le l''$.

Cosi ?

[gugo82]

Di $A$ e $B$ puoi farne a meno.
Poi, devi motivare bene perché è come ottieni la tua conclusione sfruttando le proprietà.

[galles90]

Si, sfruttando la prima proprietà del massimo e minimo limite di $a_n$.
Riporto per comodità, la prima proprietà del massimo e minimo limite:
mi fisso un $epsilon>0$, esiste un indice $nu_(epsilon)$ tale che:

$a_n<l''+epsilon \ qquad forall n>nu_(epsilon)$.

Inoltre per il minimo limite, si ha che:

$a_n>l'-epsilon \ qquad forall n>nu_(epsilon) $.

[gugo82]

E chi ti dice che $nu_epsilon$ sia lo stesso?

[galles90]

Quindi, dovrei procedere cosi:
massimo limite
sia $epsilon>0$ esiste un indice $nu_1$ tale che, per ogni $n ge nu_1$ si abbia

$a_n<l''+epsilon,$

minimo limite
sia $epsilon>0$ esiste un indice $nu_2$ tale che, per ogni $n ge nu_2$ si abbia

$a_n>l'-epsilon.$

Posto $nu=max{nu_1,nu_2}$, si ha per ogni $n ge nu $, otteniamo relazione cercata.

E' corretto ?

[gugo82]

Già.

[galles90]

Ok, grazie ancora per l'aiuto gugo82