ho la seguente successione definita per ricorrenza
\(\displaystyle f(n)=\begin{cases} a_0=1 \\ a_{n+1}=sin(a_n) \end{cases} \)
Procedo cosi, suppongo in primis che la successione ammetta limite, cioè \(\displaystyle a=sin(a) \) , per $n to infty$, il quale può assumere valori compresi nel seguente intervallo, cioè $a in (-infty, +infty)$.
Si osserva subito che
$sin(a_n) ge 0\ quad forall n in mathbb{N}$
in quanto $sin(a_n)<0$ lo si ha per $pi le a_n le 2pi$, quest'ultima relazione non è verificata in quanto "almeno penso", si ha per esempio $a_0=1 < pi $, per cui risulta $sin(a_n) ge 0$ per ogni $n in mathbb{N}$, quindi $a ge 0$.
La successione risulta essere decrescente, lo dimostro per induzione, quindi:
per $n =1 $, si ha $a_1>a_2$, quindi supposto che risulti vera la relazione $a_(n+1)<a_n$, per un certo indice, devo verificare che è vera anche per $n+1$, quindi, $a_(n+2)=sin(a_(n+1))<a_(n+1)$, quindi questo equivale a dire $a_(n+2)<a_(n+1)$, cioè la successione è decrescente, inoltre, risulta essere limitata superiormente da $1$ e inferiormente da $0$.
Per il teorema sulle successioni monotone, la successione risulta ammettere limite finito, il quale risulta essere $a=0$
Sono corretti i passaggi ?
ciao
