Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

[gugo82]

L’unica differenza tra polinomio di Taylor in una ed in due variabili è che il polinomio, invece di avere un unico termine per ogni grado, ha $1$ termine di grado $0$, $2$ termini di primo grado (quello in $x$ e quello in $y$), $3$ termini di secondo grado (in $x^2$, in $xy$ ed in $y^2$), etc…
E l’unica differenza della formula di Taylor in una ed in due variabili è che il resto d’ordine $n$ è un o-piccolo di $(sqrt(x^2 + y^2))^n$ invece che di $x^n$.

Dunque, sviluppando al secondo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
e^{3xy} &= 1 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2) \\
x\ \log (1 + 2x + 3y) &= x\ \left( 2x + 3y - \frac{1}{2}\ (2x + 3y)^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\right) \\
&= 2x^2 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2)
\end{split}
\]
e perciò:
\[
f(x,y) = 1 + 3xy - 2x^2 - 3xy - 1 + \text{o}(x^2 + y^2) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; .
\]

[mashi1994]

ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:

Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.

Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$

la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.

Grazie mille io una cosa però non ho capito, calcolata questa formula che faccio? Devo esplicitare $f(x_0,y_0)$ oppure l'incremento cioè->$f(x_0+h,y_0+k)$

Guarda per essere il più chiari possibile manca solo da dire che $h=(x-x_o)$ e $k=(y-y_o)$ quindi $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0+x-x_0,y_0+y-y_0)=f(x,y)$.
Tu vuoi ottenere una approssimazione polinomiale di $f(x,y)$, non ha molto senso esplicitare per $f(x_0,y_0)$.

[mashi1994]

L’unica differenza tra polinomio di Taylor in una ed in due variabili è che il polinomio, invece di avere un unico termine per ogni grado, ha $1$ termine di grado $0$, $2$ termini di primo grado (quello in $x$ e quello in $y$), $3$ termini di secondo grado (in $x^2$, in $xy$ ed in $y^2$), etc…
E l’unica differenza della formula di Taylor in una ed in due variabili è che il resto d’ordine $n$ è un o-piccolo di $(sqrt(x^2 + y^2))^n$ invece che di $x^n$.

Dunque, sviluppando al secondo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
e^{3xy} &= 1 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2) \\
x\ \log (1 + 2x + 3y) &= x\ \left( 2x + 3y - \frac{1}{2}\ (2x + 3y)^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\right) \\
&= 2x^2 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2)
\end{split}
\]
e perciò:
\[
f(x,y) = 1 + 3xy - 2x^2 - 3xy - 1 + \text{o}(x^2 + y^2) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; .
\]

Grazie Gugo! Questa cosa non mi era chiara infatti!
(Peccato che non si possa mettere mi piace in questo forum!)

Giusto per non scrivere un messaggio per nulla passo al punto 2 per concludere l'esercizio:

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(x^2+y^2) = lim_{(x,y) \to \(0,0)}(-2x^2)/(x^2+y^2)$
usando la tecnica delle restrizioni puoi notare che per $y=x$ il limite tende a -1, mentre per $x=y^2$ il limite tende a 0.
Quindi il limite non esiste.

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui invece puoi passare a coordinate polari ottenendo semplificando:
$\lim_{\rho \to \0}-2\rho(cos\theta)^2$
$\rho$ tende a 0 mentre $(cos\theta)^2$ è una quantità limitata, quindi il limite esiste e vale 0.

[guidocastiello00]

Grazie mille per l'aiuto,procedo ora con il secondo punto!