Metto il tutto sotto spoiler perché è lunghetto
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In genere affinché tu possa calcolare la lunghezza di una curva $phi:[a,b]->RR^n$ è sufficiente che sia di classe $C^1$, quella condizione di regolarità qui non interviene; può esserlo come non esserlo.
quì puoi notare che la condizione di regolarità non è richiesta
La sua lunghezza, com'è noto, è data da $L(phi)=int_(a)^(b)norm(phi'(t))dt$
prendiamo per esempio la curva $phi(t)=(t,0)$ con $t in [-1,1]$ che risulta essere regolare
La curva è di classe $C^1$ in $[-1,1]$ pertanto si può calcolare la sua lunghezza
possiamo usare una parametrizzazione equivalente ponendo $phi(t)=(t^3,0)$ con $t in [0,1]$ e notando che in questo modo si ottiene una curva sempre di classe $C^1$ ma stavolta non regolare in quanto $phi'(t)=(3t^2,0)$ che si annulla per $t=0$
come puoi notare la lunghezza della curva non è cambiata.
Il motivo per cui bisogna introdurre questa condizione di regolarità è data dal fatto che vogliamo definire il concetto di versore tangente ad una curva
1) per prima cosa è ovvio che per definire $T(t)=(phi'(t))/norm(phi'(t))$ la velocità deve essere sempre non nulla, altrimenti è impossibile definire questo vettore
2) la seconda cosa è che una volta definito $T(t)$ in quel modo esso rimarrebbe legato indirettamente alla velocità con cui la curva viene percorsa, di fatto il versore tangente si muove sulla curva con velocità $norm(phi'(t))$.
Per avere informazioni strettamente geometriche sulla curva la si potrebbe voler riparametrizzare in modo tale da ottenere la stessa curva percorsa però a velocità unitaria.
Immagina di metterti in macchina e percorrere una curva a due velocità differenti; prima molto lentamente e poi molto velocemente, ti ridurresti ad apprezzare la curva in due modi diversi e ti apparirebbe molto "piegata" a velocità alta e quasi lineare a velocità molto bassa.
A questo punto dici: voglio percorrere tutte le curve alla stessa velocità che chiamerò "unitaria" in modo tale da classificarle per mezzo di come apprezzo il suo spiegazzarsi sempre alla stessa velocità.
E' chiaro che per percorrere la curva a velocità unitaria devi poter affrontare tale percorso in modo tale da non fermarti mai, altrimenti se per ogni velocità con cui la percorri sei costretto a fermarti capirai da solo che non potrai classificarla come le altre. Notato questo chiamano "regolari" le curve che ammettono almeno una parametrizzazione per cui la velocità non si annulla mai.
Per queste particolari curve oltre a poter definire la funzione $s(t)=int_(a)^(t)norm(phi'(tau))d tau$ si può notare che la derivata $s'(t)=norm(phi'(t))$ è sempre strettamente positiva facendo sì che
sia un parametro ammissibile, ossia è un diffeomeomorfismo di intervalli1, per cui la curva $psi=phicircs^(-1)$ risulti equivalente a quella data. La funzione $s$ è quella che viene chiamata "parametro ascissa curvilinea"
Ecco quindi che hai trovato una parametrizzazione $psi$ della curva che ti permette di percorrerla a lunghezza unitaria e per fare questo abbiamo chiamato in causa la regolarità con la considerazione che $s'(t)>0$
Puoi passarti il tempo nel dimostrare che la curva $psi$ è percorsa a velocità unitaria
quì puoi notare che la condizione di regolarità non è richiesta
La sua lunghezza, com'è noto, è data da $L(phi)=int_(a)^(b)norm(phi'(t))dt$
prendiamo per esempio la curva $phi(t)=(t,0)$ con $t in [-1,1]$ che risulta essere regolare
La curva è di classe $C^1$ in $[-1,1]$ pertanto si può calcolare la sua lunghezza
$L(phi)=int_(0)^(1)norm(phi'(t))dt=int_(-1)^(1)dt=2$
possiamo usare una parametrizzazione equivalente ponendo $phi(t)=(t^3,0)$ con $t in [0,1]$ e notando che in questo modo si ottiene una curva sempre di classe $C^1$ ma stavolta non regolare in quanto $phi'(t)=(3t^2,0)$ che si annulla per $t=0$
$L(phi)=int_(-1)^(1)norm(3t^2,0)dt=int_(-1)^(1)3t^2dt=t^3|_(-1)^(1)=2$
come puoi notare la lunghezza della curva non è cambiata.
Il motivo per cui bisogna introdurre questa condizione di regolarità è data dal fatto che vogliamo definire il concetto di versore tangente ad una curva
1) per prima cosa è ovvio che per definire $T(t)=(phi'(t))/norm(phi'(t))$ la velocità deve essere sempre non nulla, altrimenti è impossibile definire questo vettore
2) la seconda cosa è che una volta definito $T(t)$ in quel modo esso rimarrebbe legato indirettamente alla velocità con cui la curva viene percorsa, di fatto il versore tangente si muove sulla curva con velocità $norm(phi'(t))$.
Per avere informazioni strettamente geometriche sulla curva la si potrebbe voler riparametrizzare in modo tale da ottenere la stessa curva percorsa però a velocità unitaria.
Immagina di metterti in macchina e percorrere una curva a due velocità differenti; prima molto lentamente e poi molto velocemente, ti ridurresti ad apprezzare la curva in due modi diversi e ti apparirebbe molto "piegata" a velocità alta e quasi lineare a velocità molto bassa.
A questo punto dici: voglio percorrere tutte le curve alla stessa velocità che chiamerò "unitaria" in modo tale da classificarle per mezzo di come apprezzo il suo spiegazzarsi sempre alla stessa velocità.
E' chiaro che per percorrere la curva a velocità unitaria devi poter affrontare tale percorso in modo tale da non fermarti mai, altrimenti se per ogni velocità con cui la percorri sei costretto a fermarti capirai da solo che non potrai classificarla come le altre. Notato questo chiamano "regolari" le curve che ammettono almeno una parametrizzazione per cui la velocità non si annulla mai.
Per queste particolari curve oltre a poter definire la funzione $s(t)=int_(a)^(t)norm(phi'(tau))d tau$ si può notare che la derivata $s'(t)=norm(phi'(t))$ è sempre strettamente positiva facendo sì che
$s:[a,b]->[0,L]$
sia un parametro ammissibile, ossia è un diffeomeomorfismo di intervalli1, per cui la curva $psi=phicircs^(-1)$ risulti equivalente a quella data. La funzione $s$ è quella che viene chiamata "parametro ascissa curvilinea"
Ecco quindi che hai trovato una parametrizzazione $psi$ della curva che ti permette di percorrerla a lunghezza unitaria e per fare questo abbiamo chiamato in causa la regolarità con la considerazione che $s'(t)>0$
Puoi passarti il tempo nel dimostrare che la curva $psi$ è percorsa a velocità unitaria
- ovvero una funzione invertibile, differenziabile e con inversa differenziabile ↑
