Ho un dubbio di teoria.
Sto studiando analisi complessa, e a un certo punto nei miei appunti si dà per noto il seguente fatto:
Siano $z_(h,k) in CC$ $AA h,k in NN$, allora vale:
$sum_(k=0)^oosum_(h=0)^ooz_(h,k)=sum_(h=0)^oosum_(k=0)^ooz_(h,k)$ sotto ipotesi di assoluta convergenza
(interpretabile... io credo intendesse che converge $sum_(h,k=0)^oo|z_(h,k)|$).
Il fatto è che non mi ricordo di aver fatto questa dimostrazione nei corsi di analisi, allora ho provato a fabbricarmene una che adesso vi sottopongo sperando sia giusta e non troppo macchinosa (anche perché non sono sicurissimo delle definizioni con i doppi indici).
Lemma
Sia $a_(m,n)$ una successione a doppio indice (supponiamo a valori complessi, per fissare le idee)
Supponiamo $lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$
Allora se $AA m in NN$ $EE lim_(n->oo)a_(m,n)=b_m$ vale che $lim_(m->oo)b_m=lim_(m->oo)lim_(n->oo) a_(m,n)=a$
dim
$lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$ significa che $AA \epsilon>0 EE N in NN$ tale che $AA m,n>=N$ $|a_(m,n)-a|<\epsilon$
Allora $|lim_(n->oo)a_(m,n)-a|=|b_m-a|<\epsilon$, da cui per definizione $lim_(m->oo)b_m=a$ quindi la tesi.
Osservazione
Con ipotesi analoghe vale $lim_(n->oo)lim_(m->oo) a_(m,n)=a$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$sum_(h,k=0)^ooz_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)sum_(h=0)^m sum_(k=0)^n z_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)S_(m,n)$
Adesso ho che $sum_(h,k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge,
ma allora fissando $h$ vale $sum_(k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge (serie a termini $>=0$ che non diverge)
quindi $sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge,
quindi fissato $m$ vale $sum_(h=0)^m sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge (somma finita di serie convergenti).
Quindi per il lemma $sum_(h=0)^oo sum_(k=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Si può ripetere il ragionamento scambiando l'ordine delle somme e ottengo:
$sum_(k=0)^oo sum_(h=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Quindi la tesi.
Scusate la lunghezza del post, attendo conferme o smentite, grazie in anticipo
EDIT: aggiustato formula
