avrei da proporvi un esercizio per il calcolo degli estremi vincolati, da risolversi con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$f(x,y) = x^3 + y^3 text{ con vincolo } y^2 - x^2 = 1$
Questa è il mio procedimento:
Pongo il vincolo = 0, ovvero $ y^2 - x^2 - 1 = 0$ e scrivo la funzione di Lagrange nei parametri di $text{x, y e} \lambda$ che si traduce in $L(x,y, \lambda) = x^3 + y^3 + \lambda(y^2 - x^2 - 1)$
Scrivo il gradiente di L: $text{grad} L = (3x^2 -2\lambdax)i + (3y^2 + 2\lambday)j$
Imposto il sistema con le due derivate parziali in x e y del gradiente e lo metto insieme al vincolo, che viene definito così:
$\{(3x^2 - 2\lambdax = 0), (3y^2 + 2\lambday = 0), (y^2 - x^2 -1 = 0):}$
Le due soluzioni di questo sistema sono: $S_1(0,1,-3/2), S_2(0,-1,3/2)$.
Costruisco la matrice Hessiana di L, che viene fuori essere:
$H(L) = [[6x-2\lambda, 0], [0, 6y+2\lambda]]$ il cui determinate è $detH = (6x-2\lambda) * (6y+2\lambda) - 0 = 36xy +12\lambdax - 12\lambday -4\lambda^2$
Per le due soluzioni trovate il determinate vale $detH(L(S_1)) = 9 = detH(L(S_2))$
I miei dubbi sono questi:
- come si fa a stabilire la tipologia di punti $P_1(0,1)$ e $P_2(0,-1)$ come estremi essendo i determinanti entrambi positivi?
- qualcuno riesce a ravvisare errori nei miei calcoli? Visto che seguendo la soluzione di altre persone il risultato del determinate viene fuori come $56/9$.
Grazie in anticipo per chiunque vorrà aiutarmi
