Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 20/06/2019, 16:39

Salve, devo dimostrare che:

siano $\sum_{n=1}^(+oo) a_n$ e $\sum_{n=1}^(+oo) b_n$ due serie a termini positivi, entrambe divergenti.
Posto $AA n in NN, m_n=min{a_n, b_n}$ e $M_n = max {a_n, b_n}$, dire se ciascuna delle due serie $\sum_{n=1}^(+oo) m_n$ e
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n$ è divergente.
Dimostrare in caso positivo, portate un controesempio in caso negativo.

Mi potete dare una dritta per come dimostrarlo ?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda caulacau » 20/06/2019, 16:45

Poni \(u_n = \frac{1}{n}\), \(w_n = \chi_{2\mathbb N }\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri pari, e \(v_n = \chi_{2\mathbb N +1}\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri dispari; ora, se \(a_n := u_n w_n\) e \(b_n = u_n v_n\)... questo dimostra che \(\sum a_n \land b_n\) può convergere.

Per quanto riguarda \(\sum a_n \lor b_n\) mi pare che basti usare la maggiorazione \(\sum a_n \lor b_n \ge \sum a_n\) e il fatto che \(\sum a_n\) diverge.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 20/06/2019, 16:48

ho provato così

suppongo

$a_n<b_n => \{(m_n=a_n),(M_n=b_n):}$

quindi per confronto si avrebbe

$\sum_{n=1}^(+oo) m_n =\sum_{n=1}^(+oo) a_n ->+oo$
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n =\sum_{n=1}^(+oo) b_n ->+oo$

se invece si avesse

$a_n>b_n => \{(m_n=b_n),(M_n=a_n):}$


quindi per confronto si ha

$\sum_{n=1}^(+oo) m_n =\sum_{n=1}^(+oo) b_n ->+oo$ per confronto
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n =\sum_{n=1}^(+oo) a_n ->+oo$

è corretta?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda gugo82 » 20/06/2019, 18:08

No.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 20/06/2019, 18:09

dove sbaglio?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda gugo82 » 20/06/2019, 18:13

Ab ovo.

Non si capisce perché devi prendere l'ulteriore ipotesi che $a_n < b_n$ o $a_n > b_n$ sempre.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 20/06/2019, 18:35

perchè se il $min =a_n$ significa che $b_n=max$ e viceversa quindi $a_n<b_n$ nel primo caso e viceversa nel secondo.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda arnett » 20/06/2019, 20:22

Ma no, questo vale sui singoli indici. Se $a_1<b_1$ non è detto che $a_2<b_2$.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 20/06/2019, 20:44

giusto.. Allora non ho proprio capito come affrontare questo esercizio.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda arnett » 20/06/2019, 21:37

Rileggi il post di caulacau.
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