Funzione uniformemente continua e limiti

[thedarkhero]

Sia $\Omega \sube RR^n$ aperto e limitato.
Sia $v:\bar \Omega -> RR^n$ una funzione continua.
Essendo $\bar \Omega$ compatto posso dedurre che $v$ è uniformemente continua su $\bar \Omega$.

Sia $\epsilon>0$ un parametro e sia $(x_{\epsilon}, y_{\epsilon}) \in \bar \Omega$ un punto.
Ora suppongo di sapere che $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon) <= v(x_epsilon)-v(y_epsilon) <= 2 max_{\bar \Omega} |v|$.
Posso dedurre che $|x_epsilon-y_epsilon|^2 <= 4 epsilon max_{\bar \Omega} |v|$ e che quindi $|x_epsilon-y_epsilon|^2->0$ quando $epsilon->0^+$.

Ora il fatto che $v$ è uniformemente continua su $\bar \Omega$ e la disuguaglianza appena provata mi consentono di affermare che $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon) ->0$ quando $epsilon ->0^+$?

[obnoxious]

Sì, devi usare questa

[...] $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon) <= v(x_epsilon)-v(y_epsilon) $ [...]

[thedarkhero]

Vediamo se ho capito...
Io ho provato che quando $epsilon->0^+$ ho che $|x_epsilon-y_epsilon|^2->0$, ovvero che $x_epsilon->y_epsilon$.
Allora $v(x_epsilon)-v(y_epsilon)->0$ per $epsilon->0^+$ (per dedurre questo è necessaria la uniforme continuità di $v$?) e dunque anche $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon) -> 0$.
Giusto?

[obnoxious]

Vediamo se ho capito...
Io ho provato che quando $epsilon->0^+$ ho che $|x_epsilon-y_epsilon|^2->0$, ovvero che $x_epsilon->y_epsilon$.
Allora $v(x_epsilon)-v(y_epsilon)->0$ per $epsilon->0^+$ (per dedurre questo è necessaria la uniforme continuità di $v$?) e dunque anche $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon) -> 0$.
Giusto?

Mmm no, \( x_\epsilon \to y_\epsilon \) non ha senso perché \( y_\epsilon \) dipende da \( \epsilon \), non è fisso.

Piuttosto, fissiamo \( a > 0 \); esisterà un \( b > 0\) tale che (uniforme continuità) per ogni \( x,y \in \overline{\Omega} \) con \( |x-y|<b \) si ha \( |v(x)-v(y)|<a \). Ora se \( \epsilon \) è sufficientemente piccolo, \( |x_\epsilon - y_\epsilon| < b \) definitivamente, il che implica \[ \frac{|x_\epsilon - y_\epsilon |^2}{2 \epsilon} \le v(x_\epsilon) - v(y_\epsilon) \le |v(x_\epsilon) - v(y_\epsilon)| < a. \]Si conclude per l'arbitrarietà di \(a\). La continuità uniforme ti garantisce che la coppia \( (a,b) \) è indipendente da \( \epsilon \) (se quest'ultimo è piccolo a sufficienza).

[thedarkhero]

Ok, grazie!

Però sappiamo che $|x_epsilon-y_epsilon|^2->0$ per $epsilon->0^+$, quindi $|x_epsilon-y_epsilon|->0$ per $epsilon->0^+$.
Non basta usare la continuità (al posto dell'uniforme continuità) per ottenere che quindi $|v(x_epsilon)-v(y_epsilon)| ->0$ per $epsilon->0^+$ e dedurre quindi che $|x_epsilon-y_epsilon|^2/(2 epsilon)<=v(x_epsilon)-v(y_epsilon)<=|v(x_epsilon)-v(y_epsilon)| ->0$ per $epsilon->0^+$?

[obnoxious]

[...] per ottenere che quindi $|v(x_epsilon)-v(y_epsilon)| ->0$ [...]

Come lo dimostri questo con la sola continuità? Al massimo hai che \( |v(x_\epsilon - y_\epsilon) - v(0)| \to 0 \)...

[thedarkhero]

Ah, giusto.
Grazie mille!