Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 13/07/2019, 18:14

Il problema era la limitatezza di $a_n$, a me sembra che il fatto che gli insiemi \( \mathcal{A}_n \) o con la tua notazione \( E_n \) siano di cardinalità finita e il fatto che
\[ \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum\limits_{x \in A} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} < + \infty \]
e che \( \forall n , \forall x \in \mathcal{A}_n \) risulta che \( f(x) > \frac{1}{n} \) implichi che \( \sup_{n \in \mathbb{N} } a_n \in \mathbb{R} \) ma al contempo mi suona molto strano... se cosi non fosse non capisco l'errore nel mio ragionamento!
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 23:28

Prendi la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[ x \mapsto \begin{cases} 1/x^2 & \text{se } x \in \mathbb{N} \setminus \{0 \} \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases} \]E' chiaro che \[ \sup_{A \in \mathcal{P}} \sum_A |f(x)| < \infty; \]tuttavia \( x \in \mathcal{A}_n \) se e solo se \( x^2 < n \) e sse \( x < \sqrt{n} \) e quindi \( a_n=\# (\mathcal{A}_n) = \lfloor\sqrt{n} \rfloor \) che è illimitata.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 13/07/2019, 23:39

Mi riallaccio a quanto detto da obnoxiuos poco fa.
O ho capito fischi per fiaschi del testo dell'esercizio, cosa possibile, ma a me sembra falso che la somma di quella serie sia necessariamente finita.
Questo perché mi sembra falso che gli $a_n$ siano necessariamente finiti.

Controesempio:

prendiamo $f(x)=sinx$,
che è una funzione limitata.

Essendo limitata il suo sup sarà $ <+ oo $ su qualsiasi sottinsieme di $ mathbb(R) $ , e quindi anche su quelli di cardinalità finita $A$.
Quindi varrà (è una somma finita):

\[ \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum\limits_{x \in A} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} < + \infty \]

Però se prendiamo $1/n$ ad esempio uguale a $1/2$ non è affatto vero che l'insieme dei punti in cui $|sinx| > 1/2 $ ha cardinalità finita.

Se è così l'esercizio è un po' a trabocchetto.
D'altra parte sarebbe pure strano che ad analisi 1 si dia una dimostrazione complicata, questo pure mi fa pensare che è falso.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 13/07/2019, 23:55

Ciao Gabriella

Prendi $A_n={pi/2+2kpi: k in ZZcap[1,n]}$
Questi insiemi hanno tutti cardinalità finita inoltre

$sum_(x inA_n)abs(sin(x))=sum_(k=1)^(n)abs(sin(pi/2+2kpi))=sum_(k=1)^(n)1=n$
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda obnoxious » 13/07/2019, 23:56

gabriella127 ha scritto:Mi riallaccio a quanto detto da obnoxiuos poco fa.
O ho capito fischi per fiaschi del testo dell'esercizio, cosa possibile, ma a me sembra falso che la somma di quella serie sia necessariamente finita.
Questo perché mi sembra falso che gli $a_n$ siano necessariamente finiti. [...]

Non credo sia un'argomentazione valida, la serie a cui siamo interessati è \[ \sum \frac{a_n}{n^2 \log^2 (n)}; \] \( a_n \) ha "una certa libertà di essere illimitata" senza far divergere la serie.

gabriella127 ha scritto:[...]

Controesempio:

prendiamo $f(x)=sinx$,
che è una funzione limitata.

Essendo limitata il suo sup sarà $ <+ oo $ su qualsiasi sottinsieme di $ mathbb(R) $ , e quindi anche su quelli di cardinalità finita $A$.
Quindi varrà (è una somma finita):

\[ \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum\limits_{x \in A} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} < + \infty \] [...]

Questo è falsissimo, basta considerare per esempio gli insiemi (finiti) \[ B_{n} = \{ \pi/2, 3 \pi /2 , \dots , (2n+1) \pi /2 \}. \]

Sono abbastanza sicuro che quella serie sia convergente, e la dimostrazione (o le idee principali thereof) sta nei miei messaggi precedenti.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 00:05

Boh, ci penserò, non dico che $a_n$ sia illimitata come successione, ma che una singola cardinalità $a_n$ sia infinita.
Buonanotte a tutti.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 14/07/2019, 01:02

Ho provato a concluderlo così

tengo la posizione $E_n={x in RR: f(x)>1/n}$ e pongo \( \lambda=\mathrm{sup_{A \in P}\sum_{x \in A}|f(x)|} \)

se $x in E_n$ allora

$1/n<abs(f(x)) => (a_n)/n=sum_(x in E_n)1/n<sum_(x in E_n)abs(f(x))leqlambda$


da cui $(a_n)/(n^2log^2(n))<lambda/(nlog^2(n))$ per ogni $n>2$
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 11:37

In effetti avevo letto male la sommatoria.
Resta che l'esercizio è strano per un esame di analisi 1.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 11:45

E se consideriamo la funzione identicamente nulla?
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 14/07/2019, 11:51

È tutto nullo quindi l’affermazione rimane vera per questa funzione

Che poi è stata dimostrata in due modi la veridicità della affermazione
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