Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 17/07/2019, 09:32

Ok sono un po' in preda alla confusione...

1) Sul primo punto intendo non porre rho=0 ma non usarlo proprio, in teoria scrivendo le formule senza rho anche su wolfram mi esce un cilindro. non capisco dove sbaglio.

2) Si ho rho e theta, ma anche z per l'altezza che è slegata da esse, quindi non dovrebbero essere 3 incognite in gioco per descriverla del tutto?

grazie ancora, spero mi aiuterai a capire :D
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Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 17/07/2019, 21:41

matos ha scritto:1) Sul primo punto intendo non porre $\rho=0 $ ma non usarlo proprio

Cosa significa questa frase? Non puoi non usarlo se stai usando le coordinate cilindriche ellittiche... Forse intendi considerare $\rho = 1 $? In tal caso cosa succede se sezioni il paraboloide ellittico col piano orizzontale di equazione $z = - 1 $?
matos ha scritto:2) Si ho rho e theta, ma anche z per l'altezza che è slegata da esse, quindi non dovrebbero essere 3 incognite in gioco per descriverla del tutto?

Ma scusa, come ricavi $z = - ax^2 - by^2 $ con $x $ e $y $, allo stesso modo ti ricavi $z = - \rho^2 $ utilizzando la trasformazione già citata:

$\{(x = A\rho cos\theta),(y = B\rho sin\theta),(z = z):} $

ove $A = \sqrt{1/a} $, $B = \sqrt{1/b}$, $ \rho >= 0 $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $ z <= 0 $
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Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 18/07/2019, 08:31

Ok ti ringrazio e credo di aver capito, spero confermerai se non ho fatto errori:

1) il primo punto mi ero espresso male, intendevo esattamente di fissa rho (cioè non lasciarlo libero) proprio con $rho=1$, esatto.
Per rispondere alla tua domanda, invece, direi che esce un'ellissi di raggio 1 $ax^2+bx^2=1$

2) Dovrei avere $z=-aA\rhocos\theta-bB\rhosin\theta$

grazie ancora :)
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Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 08:59

matos ha scritto:direi che esce un'ellissi di raggio 1 $ax^2+bx^2 = 1 $

Non esistono ellissi di raggio $1$, esistono ellissi di semiassi $\sqrt{1/a} $ e $\sqrt{1/b} $:

$ x^2/(\sqrt{1/a})^2 + y^2/(\sqrt{1/b})^2 = 1 $

Dopo la trasformazione di coordinate citate invece diventa un cerchio di raggio $\rho = 1 $.
matos ha scritto:2) Dovrei avere $z=−aA\rho cos\theta−bB\rho sin\theta $

No... Ti sei leggermente dimenticato di elevare al quadrato:

$ z=−a(A\rho cos\theta)^2−b(B\rho sin\theta)^2 = - \rho^2 cos^2\theta - \rho^2 sin^2 \theta = - \rho^2 (cos^2\theta + sin^2 \theta) = - \rho^2 $
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Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 18/07/2019, 11:16

Grazie mille, direi che ora mi è chiaro :)

pilloeffe ha scritto:Dopo la trasformazione di coordinate citate invece diventa un cerchio di raggio $\rho = 1 $.
$

mi rimane solo questo piccolo dubbio:

Dopo la parameteizzazione non dovrei avere come coefficienti di coseno e seno $A\rho$, $B\rho$ e quindi i semiassi essere di nuovo $1/\sqrt(A\rho)$ e $1/\sqrt(B\rho)$ (ma rho=1)?
Non ho capito perché sia una circonferenza

Gentilissimo davvero
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Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 11:50

Se si interseca il paraboloide proposto con piani orizzontali di equazione $z = k = - r^2 < 0 $ con $r > 0 $ si ottiene l'equazione seguente:

$ax^2 + by^2 = r^2 $

Con la già più volte citata trasformazione di coordinate si ha:

$ \rho^2 cos^2\theta + \rho^2 sin^2 \theta = r^2 $

$\rho^2 = r^2 $

$\rho = r $

Quest'ultima è proprio l'equazione polare di una circonferenza.
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