@Reyzet:
Propongo una versione leggermente semplificata della stessa dimostrazione. La serie è
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{\sqrt n (1+nx^2)}.\]
Raccogliendo \(\frac1n\), il termine generale si può riscrivere
\[
\frac{1}{n}\left( \frac{\sqrt n x}{1+nx^2}\right)=\frac{1}{n}h(\sqrt n x),\qquad h(t):=\frac{t}{1+t^2},\]
e si vede facilmente che \(h\) è decrescente per \(t\ge 1\) e \(h(1)=\frac12\). E fin qui non ho fatto altro che riscrivere il post di Reyzet.
Ora sia \(\epsilon >0\); se la serie convergesse uniformemente su tutto \(\mathbb R\) si dovrebbe avere
\[
\left\lvert \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n x)\right\rvert < \epsilon,\]
per interi \(p<q\) sufficientemente grandi e per ogni \(x\) reale. Ma, ponendo \(x=\frac{1}{\sqrt p}\), usando la decrescenza di \(h\) e la disuguaglianza precedente otteniamo
\[\frac{1}{2}\sum_p^q\frac{1}{n}\le \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n \frac{1}{\sqrt p}) < \epsilon, \]
e questo implica che la serie numerica \(\sum \frac 1 n \) verifica il criterio di Cauchy ed è pertanto convergente. Questo è assurdo.