Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Reyzet » 14/08/2019, 19:06

Potresti tentare facendo vedere che non vale il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme sulle somme parziali. Dico potresti perché è uno dei pochi metodi che conosco per farlo vedere.
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Gianni_Volto » 15/08/2019, 11:54

Ma quindi può capitare di non poter dire niente sulla convergenza in alcuni punti del dominio di qualche serie di funzioni?
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Reyzet » 15/08/2019, 16:01

Ci provo. Riscriviamo la serie come $\sum (1/n)(\sqrt(n)x)/(1+nx^2)=\sum (1/n)h(\sqrt(n)x)$ con $h(t)=t/(1+t^2)$. Supponiamo che per assurdo valga Cauchy, cioè fissato $\epsilon >0$ esista $\alpha$ tale che per ogni $q>p>\alpha$ si abbia $|\sum_{n=p}^{q} (1/n)h(\sqrt(n)x)|<\epsilon$ per ogni $x\geq0$. Allora preso $q=2p>p>\alpha$ e $x=1/\sqrt(p)$ avremo (tenendo conto di 1)che se p<n<2p vale $1<\sqrt(n/p)<\sqrt(2)$ e anche $1/n>1/(2p)$ e che 2) h(t) decresce se $t\geq1$ e perciò varrà $h(\sqrt(n/p))\geq h(\sqrt2)=\sqrt(2)/3$)
$\epsilon>|\sum_{n=p}^{2p} (1/n)h(\sqrt(n/p))|>p(1/(2p))(\sqrt(2)/3)=\sqrt(2)/6$. Contro l'arbitrarietà di epsilon. Come si vede il problema è vicino allo zero.
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda dissonance » 16/08/2019, 14:12

@Reyzet: =D>

Propongo una versione leggermente semplificata della stessa dimostrazione. La serie è
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{\sqrt n (1+nx^2)}.\]
Raccogliendo \(\frac1n\), il termine generale si può riscrivere
\[
\frac{1}{n}\left( \frac{\sqrt n x}{1+nx^2}\right)=\frac{1}{n}h(\sqrt n x),\qquad h(t):=\frac{t}{1+t^2},\]
e si vede facilmente che \(h\) è decrescente per \(t\ge 1\) e \(h(1)=\frac12\). E fin qui non ho fatto altro che riscrivere il post di Reyzet.

Ora sia \(\epsilon >0\); se la serie convergesse uniformemente su tutto \(\mathbb R\) si dovrebbe avere
\[
\left\lvert \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n x)\right\rvert < \epsilon,\]
per interi \(p<q\) sufficientemente grandi e per ogni \(x\) reale. Ma, ponendo \(x=\frac{1}{\sqrt p}\), usando la decrescenza di \(h\) e la disuguaglianza precedente otteniamo
\[\frac{1}{2}\sum_p^q\frac{1}{n}\le \sum_p^q\frac{1}{n}h(\sqrt n \frac{1}{\sqrt p}) < \epsilon, \]
e questo implica che la serie numerica \(\sum \frac 1 n \) verifica il criterio di Cauchy ed è pertanto convergente. Questo è assurdo.
Ultima modifica di dissonance il 16/08/2019, 19:52, modificato 4 volte in totale.
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Gianni_Volto » 16/08/2019, 15:45

Va bene, ringrazio entrambi delle risposte.
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Reyzet » 16/08/2019, 16:08

@dissonance: ma quando prendi $x=1/\sqrt(n)$ cosa è n? Visto che varia tra p e q non dovrebbe essere un numero fisso in cui valutare h
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda dissonance » 16/08/2019, 16:33

Giusto, era x=1/p, e poi si usa la monotonia di h, esattamente come hai fatto tu. Insomma proprio la stessa cosa che hai fatto tu, ma usando il fatto che $sum 1/n$ non converge, per risparmiare qualche passaggio.

Non sono molto concentrato, vediamo se più tardi trovo il tempo di correggere il post precedente. Sono in montagna, e il fatto che mi metta a consultare questo forum è un chiaro segno che la matematica fa male :-)
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda Reyzet » 16/08/2019, 17:07

Ahah, capisco, il penultimo post l'ho scritto mentre ero in spiaggia a ferragosto, una vera malattia :)

Però sono curioso di sapere come hai dedotto che poteva non esserci convergenza uniforme in 0, è perché non funzionava l'M-test di Weierstrass?
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Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

Messaggioda dissonance » 16/08/2019, 19:58

Il fatto che l'M test fallisce già è un grosso segnale che qualcosa non va. Poi, anche se non sono riuscito a focalizzare questa idea, sospetto che, detta $S(x)$ la somma puntuale, si abbia $S(1/sqrt n) \to oo$, mentre $S(0)=0$. Questa sarebbe una dimostrazione alternativa del fallimento della convergenza uniforme, perché gli addendi sono funzioni continue, non può essere che la funzione somma sia discontinua.
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