da pilloeffe » 26/08/2019, 10:21
Dai un'occhiata più attenta a $D$.
Se $x >= \sqrt(2y-y^2) $, dato che $y >= 0 $ questo significa che affinché il radicale esista deve essere $2 - y >= 0 \implies y <= 2 $; segue poi che naturalmente anche $x >= 0 $. D'altronde se $y <= 2 $ la disequazione irrazionale $ \sqrt(2y-y^2) <= 2 - y $ a parte la soluzione $y = 2 $ (che implicherebbe $0 <= x <= 0 \implies x = 0 $) ha soluzione $ 0 <= y <= 1 $.
A questo punto trattandosi di quantità tutte positive, elevando al quadrato $\sqrt(2y-y^2) <= x $ si ha:
$2y - y^2 <= x^2 $
$y^2 - 2y + x^2 >= 0 $
Risolvendo l'equazione associata rispetto a $y $ con la formula ridotta si ha:
$y_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - x^2} $
Pertanto la soluzione della disequazione è la seguente:
$y <= 1 - \sqrt{1 - x^2} \vv y >= 1 + \sqrt{1 - x^2} $
Dato che $ 0 <= y <= 1 $, quella buona è $y <= 1 - \sqrt{1 - x^2} $ che naturalmente affinché esista deve essere $1 - x^2 >= 0 \implies - 1 <= x <= 1 $, ma poiché si è già trovato che deve essere $x > 0 $, si conclude quanto ho già scritto in un mio post precedente:
$ 0 < x <= 1, \qquad 0 <= y <= 1 - \sqrt{1 - x^2} $