[Studio di Funzione] Funzione Trigonometrica

[Johnny10]

Ciao a tutti,

Ho un problema con lo studio di questa funzione:
\(\displaystyle f(x)=e^{-|x|}\sin(x)\) nell'intervallo \(\displaystyle [\pi ...-\pi] \)

Ho fatto i limiti per x che tende a \(\displaystyle \pi \) e \(\displaystyle -\pi \) (entrambe a 0)

Volevo analizzare adesso i punti di massimo e minimo, con la derivata prima ovvero:

\(\displaystyle f'(x)=\frac{e^{-|x|}x\sin(x)}{|x|}+e^{-|x|}\cos(x) \)

Adesso non riesco a semplificarla in modo di trovare i punti di massimo, sono riuscito ad arrivare fino a raccogliere:

\(\displaystyle f'(x)=e^{-|x|}(\frac{x\sin(x)}{|x|}+\cos(x)) \)

Sto dimenticando qualcosa?
Grazie

[Mephlip]

Occhio che ti sei perso un segno meno nella derivata, calcolala bene.
Far caso alla simmetria della funzione potrebbe semplificare i conti, altrimenti discuti il modulo e potrai studiare il segno della derivata.

[Johnny10]

Grazie della risposta immediata e della correzione,

quindi dovrei verificare se la funzione è pari o dispari e poi studiando il segno vedo \(\displaystyle |x| \) come \(\displaystyle x \) se pongo \(\displaystyle x>0 \), invece \(\displaystyle -x \) se pongo \(\displaystyle x<0 \).

Inoltre hai scritto che la simmetria della funzione può semplificarmi i conti, intendi che il comportamento della funzione sarà uguale o opposto (dipende dal caso) per x>0 o x<0(?)
Con questo potrei studiarmi soltanto il comportamento della funzione solo per un estremo (?)

Mi scuso per la mia scarsa capacità di spiegarmi, spero che il messaggio sia comprensibile.

Grazie ancora

[pilloeffe]

Ciao Johnny10,

Benvenuto sul forum!

Beh, si vede subito che quella proposta $f(x) = e^{-|x|}\sin(x) $ è una funzione dispari:

$f(-x) = e^{-|- x|}\sin(- x) = - e^{-|x|}\sin(x) = - f(x) $

Dunque puoi limitarti a studiarla nell'intervallo $[0, \pi] $ (ove $ x >= 0$ per cui $|x| = x $) e si ha:

$f(-\pi) = f(0) = f(\pi) = 0 $