Convergenza serie con parametro

Messaggioda luk1021 » 15/09/2019, 21:46

Buonasera
Ho un problema con esercizi di questo tipo:
La serie
$ sum_(n=2)^infty ((n^a)/(n^3lnn)) $
converge se e solo se
1) a<2
2) a=2
3) a=1
4) a>1
La risposta corretta sarebbe a<2 ma in questo caso non capisco come arrivarci.

perchè per esempio in quest'altro esercizio:
$ sum_(n=1)^infty ((ln^2n)/(n^(3-a)))$
se si fa riferimento alla serie armonica generalizzata si ottiene che la serie converge se e solo se 3-a>1 quindi
per a<2

Grazie.
luk1021
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Re: Convergenza serie con parametro

Messaggioda Mephlip » 15/09/2019, 22:04

Entrambi fanno riferimento alla serie armonica generalizzata
$$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n}$$
Che:
1) Converge per ogni $\beta$ se $\alpha>1$;
2) converge per $\beta>1$ se $\alpha=1$;
3) diverge a $+\infty$ per ogni $\beta$ se $\alpha<1$;
4) diverge a $+\infty$ se $\alpha=1$ e $\beta\leq1$.
Adatta il ragionamento ai casi che hai proposto, se hai altri dubbi scrivi pure!
Mephlip
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Re: Convergenza serie con parametro

Messaggioda luk1021 » 15/09/2019, 22:32

Ho provato facendo questi passaggi
$ sum_(n=2)^infty ((n^a)/(n^3lnn)) $ = $ sum_(n=2)^infty (1/n^-a*(1)/(n^3lnn)) $
= $ sum_(n=2)^infty ((1)/(n^(-a+3)lnn)) $, di conseguenza -a+3>1 = -a>1-3 = a<2
è corretto procedere così ?
luk1021
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Re: Convergenza serie con parametro

Messaggioda Mephlip » 15/09/2019, 22:52

Sì, è corretto; mi raccomando che la discussione da fare è $-a>1-3\Leftrightarrow a<2$ perché in questo caso $\beta=1$, dunque la convergenza è stabilita solo dall'esponente $\alpha$ della serie armonica generalizzata che ti ho riportato nel messaggio precedente.
Se così non fosse stato (ad esempio fosse stato $\beta=3$) avresti dovuto studiare anche il caso $\alpha=1$ e discutere la convergenza in base a $\beta$.
Mephlip
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