Integrale generalizzato

Messaggioda anti-spells » 17/09/2019, 12:26

Ciao, mi servirebbe qualche aiuto per gli integrali generalizzati, per esempio questo:

:idea: $\int_{0}^{pi/2} cos^(2\alpha)(x)/((1-sin(x))sin^\alpha(x) dx$

, decido di dividerlo negli intervalli $(0,pi/4)$ e $(pi/4,pi/2)$ . Per il primo intervallo l'unico problema è il denominatore che si annulla in 0, quindi è corretto usare il teorema del confronto, studiare l'integrale
$\int_{0}^{pi/4} 1/sin^\alpha(x) dx$ e sviluppare il sin(x) in x=0 per vedere quando l'integrale converge e quindi convergerà anche l'integrale di partenza?

Per il secondo integrale avevo pensato di fare lo stesso, sviluppando 1-sinx con taylor nel punto $x=pi/2$ (in questo caso devo anche sviluppare il numeratore, dato che si annulla in $x=pi/2$ ? )

So che sto facendo un po' di confusione, per questo cercavo qualcuno che potesse chiarirmi qualche dubbio, grazie in anticipo.
anti-spells
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Re: Integrale generalizzato

Messaggioda dissonance » 17/09/2019, 12:56

Non stai facendo confusione. Perché non hai finito l'esercizio? Continua, senza paura e senza pigrizia.
dissonance
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Re: Integrale generalizzato

Messaggioda pilloeffe » 17/09/2019, 13:05

Ciao anti-spells,

Concordo con dissonance.
Innanzitutto riscriverei per bene l'integrale proposto:

$ \int_{0}^{pi/2} cos^(2\alpha)(x)/((1-sin(x))sin^\alpha(x)) \text{d}x $

(ovviamente $ \text{d}x $ non può essere al denominatore). Poi non hai specificato dove varia il parametro $\alpha $: $\alpha \in \RR $, $\alpha >= 0 $, $\alpha > 0 $, $\alpha <= 0 $, $\alpha < 0 $... E potrei continuare.
Poi proseguirei andando a vedere cosa accade nei casi più semplici che mi vengono in mente: $\alpha = 0 $ e $\alpha = 1 $ (in tali casi l'integrale proposto mi risulta divergente).
Infine considererei che si ha:

$ cos^(2\alpha)(x) = [cos^2(x)]^{\alpha} = [1 - sin^2(x)]^{\alpha} = [(1 - sin(x))(1 + sin(x))]^{\alpha} = (1 - sin(x))^{\alpha} (1 + sin(x))^{\alpha} $
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Re: Integrale generalizzato

Messaggioda anti-spells » 18/09/2019, 18:36

Si scusate, stavo cercando di preparare l'esame di analisi b in una settimana ma non credo sia andato troppo bene ahah.

Comunque andando avanti, per il primo integrale sviluppo sinx in x=0, ottengo:

$sin(x) = x + o(x) rArr sin^\alpha(x) = [x+o(x)]^\alpha$ e
$\int_{0}^{pi/4} 1/(x+o(x))^\alpha <= \int_{0}^{pi/4} 1/x^\alpha$ che converge per $\alpha<1$

Passando al secondo integrale e usando il suggerimento di pilloeffe, studio $1-sin(x)$ in $x=pi/2$, ottengo:

$1-sin(x) = 1/2*(x-pi/2)^2 + o[(x-pi/2)^2]$, l'integrale che devo studiare è $\int_{pi/4}^{pi/2} ((1+sin(x))/sin(x))^\alpha * (1-sin(x))^(\alpha -1)$ , ottengo che $lim_(x->pi^-/2)((1+sin(x))/sin(x))^\alpha * (1-sin(x))^(\alpha -1)/(1/(x-pi/2)^(2-2\alpha)) = ((1+sin(x))/sin(x))^\alpha$ che è sempre maggiore di 0 quindi il secondo integrale converge assolutamente se e solo se converge assolutamente $\int_{pi/4}^{pi/2} 1/(x-pi/2)^(2-2\alpha)$ che converge per $2-2\alpha<1$ ovvero per $\alpha>1/2$ quindi l'integrale in definitiva converge per $\alpha in (1/2,1)$ .

Potrebbe essere corretto? Ho tolto i dx per alleggerire un po' il codice visto che non sono molto pratico
anti-spells
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