Dominio semplicemente connesso.

Messaggioda vivi96 » 18/09/2019, 18:08

Buonasera. Ho questo campo:
$F(x,y)=((2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2,(2y(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2)$

Il suo dominio è tutto $RR$ esclusa la circonferenza passante per l'origine di raggio 1.

Mi chiede se $F(x,y)$ è conservativo sul suo dominio.

Ho dimostrato che il rotore di F è nullo e quindi il campo è irrotazionale. Adesso mi servirebbe dimostrare che il dominio è semplicemente connesso e di conseguenza avrei confermato che il campo è anche conservativo.

Però questo dominio non risulta semplicemente connesso dal momento che la circonferenza non ci appartiene.

Come posso dire che F è conservativo?
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Re: Dominio semplicemente connesso.

Messaggioda gugo82 » 18/09/2019, 18:12

Cerca di dimostrare che il campo soddisfa la definizione.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Dominio semplicemente connesso.

Messaggioda vivi96 » 18/09/2019, 18:28

Cioè che esiste un potenziale scalare? La mia professoressa prende una circonferenza più grande della circonferenza non compresa nel dominio e notando che lungo quella curva l'integrale è nullo, conferma che il campo è conservativo. Però da quello che leggo nella teoria mi pare di capire che questo è vero solo se per ogni curva l'integrale è nullo, mentre lei tiene conto solo di una.
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Re: Dominio semplicemente connesso.

Messaggioda pilloeffe » 19/09/2019, 02:15

Ciao vivi96,
vivi96 ha scritto:Cioè che esiste un potenziale scalare?

Per esistere esiste... :wink:
Naturalmente si può determinare "ufficialmente" a partire ad esempio da $(delU)/(delx) = (2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2 $, ma già così "a naso" la presenza di quel quadrato lì a denominatore (ricordati la derivata di un quoziente...) dovrebbe indurti al sospetto e portarti ad affermare che un potenziale scalare $U = U(x, y) $ deve contenere una frazione del tipo $1/(x^2 + y^2 - 1) $; poi quale altra funzione una volta derivata ti consentirebbe di avere al denominatore $x^2 + y^2 - 1 $ ?
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