Studio omeomorfismo

Messaggioda anti-spells » 19/09/2019, 10:17

Salve, sto cercando qualche aiuto per questo esercizio, sia $f(x) = log(arctan(x) + pi/2) + tanh(x)$ ,

(i) provare che f è iniettiva
(ii) calcolare l'immagine di f
(iii) detta g l'inversa di f, dire se g è 2 volte derivabile in $x=pi/2$ e in caso affermativo, trovarne il valore
(iv) dire se g è infinitamente derivabile dando una motivazione (anche discorsiva)

Ecco il mio tentativo di soluzione:

(i) Abbiamo che f è continua in quanto somma di 2 funzioni continue, $tanh(x)$ è ovviamente continua mentre $log(arctan(x) + pi/2)$ è continua in quanto composizione di funzioni continue. Per funzioni continue vale f iniettiva se e solo se f strettamente monotona. La funzione f è strettamente crescente poichè $tanh(x)$ è strettamente crescente e $log(arctan(x) + pi/2)$ è strettamente crescente poichè composizione delle funzioni $arctan$ e $log$ che sono strettamente crescenti, quindi f iniettiva.

(ii) Sapendo che f è strettamente monotona nell'intervallo in cui è definita, posso trovare:
$\lim_{x \to \-infty}f(x) = -infty$ e $\lim_{x \to \infty}f(x) = 1 + log(pi)$ , usando il teorema dei valori intermedi abbiamo che $f(RR) = (-infty, 1+log(pi))$

(iii) Qui ho qualche problema: Usando il teorema della derivata della funzione inversa, abbiamo che
$g' (y) = 1/(f'(g(y))) AAyinD$ e usando la regola della catena, $g''(y) = (-1/((f'(g(y)))^2)) * f''(g(y))g'(y)$ , però mi sembra un procedimento molto lungo, possibile che non ci sia qualcosa di più rapido?

(iv) buio :/
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Re: Studio omeomorfismo

Messaggioda dissonance » 19/09/2019, 13:37

Lo stesso ragionamento che fai al punto (1) per dire che \(f\) è continua ti dà la soluzione del punto (4).

Quanto al punto (3), c'è una cosa strana. Siamo sicuri che \(\pi/2\) è nel dominio di \(g\)? Ovvero, siamo sicuri che
\[
\frac\pi 2 < 1+\log \pi?\]
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Re: Studio omeomorfismo

Messaggioda anti-spells » 19/09/2019, 16:02

Beh direi di si, $1<log(pi)<2$ quindi $1+log(pi)>2>pi/2$

Quanto al 4), non ho ben capito come andare avanti. Il fatto che la funzione sia continua e strettamente monotona dovrebbe (?) implicare che l'inversa è continua è strettamente monotona (non sono sicuro che sia vero , c'è qualche teorema che forse non conosco o non ricordo :/ ) e quindi infinitamente derivabile nel dominio?
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Re: Studio omeomorfismo

Messaggioda dissonance » 19/09/2019, 17:19

Hai ragione, non è così banale. Avevo letto male, pensavo fosse f la funzione da studiare, e non la sua inversa.

Bisogna fare qualche conticino, solo che adesso devo andare dal dentista e non mi posso applicare. Prova a giocare un po' con dy e dx
Ultima modifica di dissonance il 21/09/2019, 18:53, modificato 1 volta in totale.
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Re: Studio omeomorfismo

Messaggioda dissonance » 20/09/2019, 10:30

Quando dicevo "giocare con dx e dy", mi riferivo a quanto segue. Scriviamo \(y=f(x)\), cosicché, formalmente,
\[
dy = \left( \frac{1}{(1+x^2)(\arctan x + \frac\pi2)} + \frac{1}{\cosh^2 x}\right) \, dx=:F(x)\, dx.\]
La funzione \(F(x)\) è strettamente positiva, è infinitamente differenziabile e tutte le sue derivate sono regolari che di più non si può. Da qua ricavi varie formule utili; per esempio,
\[
\frac{d}{dy}=\frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}=\frac{1}{F(x)}\frac{d}{dx},\]
quindi
\[
\frac{d^2}{dy^2}=\left(\frac{1}{F(x)}\frac{d}{dx}\right)^2=-\frac{F'(x)}{F(x)^3}\frac{d}{dx}+\frac{1}{F(x)^2}\frac{d^2}{dx^2}, \]
che puoi usare per il punto 3, e poi il punto 4 dovrebbe venire fuori automaticamente.
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Re: Studio omeomorfismo

Messaggioda dissonance » 21/09/2019, 18:52

Solo per dire che ho modificato il post precedente, perché conteneva degli errori.
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