limite in due variabili per x->infinito

Messaggioda DanieleZ99 » 19/09/2019, 15:26

buongiorno,
ho cercato in lungo e in largo una possibile soluzione al mio problema senza trovare risposta.

si tratta di un limite come dice il titolo, di cui conosco già il risultato, in particolare esiste e vale zero.
il limite e' il seguente:

$lim_{|(x , y)| \to \infty}(x^2*y)/(1+x^4+y^6)$

ho provato a passare in coordinate polari, ma non sono riuscito a trovare una funzione che fosse funzione solo del modulo r.

$(r^3*cos(\theta)*sin(\theta))/(1+r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)$

in particolare ho fatto le seguenti maggiorazioni:

$(r^3*cos(\theta)*sin(\theta))/(1+r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)<= (r^3)/(r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)=(r^3)/(r^3*(r*cos(\theta^4)+r^3*sin(\theta)^6))$
$=(1)/(r*cos(\theta^4)+r^3*sin(\theta)^6)$

ho quindi massimizzato il numeratore togliendo seno e coseno(sostituendoli con 1) e ho ridotto il denominatore togliendo l'1.

poi pero non sapevo come massimizzare ulteriormente la funzione. :(

volevo chiedere se qualcuno conoscesse una funzione solo della distanza dall'origine r che possa massimizzare la funzione in esame?

grazie.



ho fatto un tentativo per studiare la funzione maggiorante, ma sono riuscito a dimostrare solo che tendeva a zero su tutte le rette passanti per l'origine, e so che cio' non basta a determinare l'esistenza del limite.

$lim_{\bar r \to \infty} (r^3)/(r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)$

e ho analizzato rispetto a tutti i possibili angoli:

$*$prima di tutto $sen(/theta)$ e $cos(/theta)$ non sono mai nulli per lo stesso $/theta$

$*$ se $sin(/theta)=k, con k!=0$ allora sicuramente il limite su tale restrizione varrà zero.

$*$ se $sin(/theta)=0$ allora $r^6*sin(\theta)^6 = 0$, e sicuramente il coseno sara diverso da zero, e il limite a sua volta sara' nullo per $ r \to \infty $
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Re: limite in due variabili per x->infinito

Messaggioda gugo82 » 19/09/2019, 16:14

Vedi che puoi fare con la disuguaglianza $sqrt(ab) <= (a+b)/2$ tra media aritmetica e geometrica. :wink:
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Re: limite in due variabili per x->infinito

Messaggioda DanieleZ99 » 19/09/2019, 16:59

buongiorno,
Ho applicato tale disuguaglianza in questo modo:
$(x^2*y)/(1+x^4+y^6)<=(x^2*y)/(2sqrt(x^4*y^6))$
$=(x^2*y)/(2x^2*y^3)=(1)/(2y^2)$

Che peró non maggiora la funzione definitivamente, ad esempio sulla retta y=0 non é definita.

Invece applicandola al numeratore non mi sembra di arrivare da nessuna parte.

Ho sbagliato qualche passaggio o dovevo applicare la disuguaglianza in altro modo?
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Re: limite in due variabili per x->infinito

Messaggioda DanieleZ99 » 21/09/2019, 19:57

Credo che aggiungendo la maggiorazione attraverso un'altra funzione che tende a zero per $x rarr infty$ possa essere sufficiente per dimostrare l'esistenza del limite.

In quanto se $|x| to infty$ allora y o x $to infty$.
Per $to infty$ la precedente funzione è sufficiente, mentre se y non tende a infinito affinché |(x,y)| tenda a infinito necessariamente x tenderà a infinito.

$(x^2*y)/(1+x^4+y^6)<=(x^2*y)/(x^4)=(y)/(x^2)$
La cui ultima espressione tende a zero per $x to infty$ (ovviamente non è detto se y non è finita, ma in tal caso la funzione nel precedente post garantisce la maggiorazione necessaria).
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Re: limite in due variabili per x->infinito

Messaggioda Plepp » 29/09/2019, 20:17

DanieleZ99 ha scritto:buongiorno,
Ho applicato tale disuguaglianza in questo modo:
$(x^2*y)/(1+x^4+y^6)<=(x^2*y)/(2sqrt(x^4*y^6))$
$=(x^2*y)/(2x^2*y^3)=(1)/(2y^2)$

Che peró non maggiora la funzione definitivamente, ad esempio sulla retta y=0 non é definita.

Sulla retta $y=0$ la tua funzione fa sempre zero...
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