Limite

[3m0o]

Ciao, sono un po' confuso sul hint che mi ha dato l'assistente per calcolare questo limite, con \( t \in \mathbb{R} \):
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+e^{it} + \ldots + e^{int}}{n}\]
Mi ha detto
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k}{n}\]
E considera il cambio di variabile \( z = e^{it} \), però da quel che so \( \begin{vmatrix} e^{it} \end{vmatrix} = 1 \) per ogni \(t \) e dunque questo cambio di variabile \( \sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \) è mal definito...

[gugo82]

La somma parziale di una serie geometrica è sempre definita.

[dissonance]

Infatti. Quella è una somma di un numero finito di termini, non ti devi preoccupare della convergenza.

[3m0o]

Quindi fondamentalmente il risultato sarebbe con \( t \neq 0 \)

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n(1-e^{it})} = 0 \]
Mentre con \( t = 0 \)
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \]

[gugo82]

E per $t = 2pi$?

[3m0o]

Effettivamente è periodico l'esponenziale complesso, dunque il limite è \( 1 \) con \( t = 2k \pi \), e con \( k \in \mathbb{Z} \).