Insiemi chiusi e limiti di successioni.

[tokask]

La prima parte del teorema è chiara ma non mi quadra la dimostrazione della seconda parte; lo trascrivo come da testo originale perché mi è sorto un dubbio.
Qualcuno mi può confermare se è corretto ?

Antonio

INSIEMI CHIUSI E LIMITI DI SUCCESSIONI.

Sia $C sube RR^n$. Allora $C$ è chiuso se e solo se ha la seguente proprietà:
per ogni successione ${x_k}_{k=1}^oo sube C$ tale che $x_k$ converga a un certo limite $x in RR^n$,
si ha che $x in C$.

DIMOSTRAZIONE.
Sia prima $C$ chiuso e proviamo che contiene i limiti delle sue successioni convergenti.
Sia dunque

${x_k}_{k=1}^oo sube C ; x_k rarr x,$

e, per assurdo, supponiamo che $x notin C.$ Allora $x in C^C,$ che è un un insieme aperto.
Sia $U_r(x) $ un intorno sferico di $x$ contenuto in $C^C.$
Per definizione di limite, $x_k in U_r(x)$ definitivamente, in particolare $x_k in C^C$ definitivamente.
Ma questo è assurdo, perché $x_k in C$ per ogni $k.$

Viceversa, supponiamo che $C$ contenga i limiti delle sue successioni convergenti e proviamo che è chiuso, mostrando che $C^C$ è aperto.
Sia dunque $x in C^C$ e mostriamo che $x$ è interno a $C^C.$
Per assurdo, non lo sia.
Questo significa che per ogni intorno sferico $U_r(x),$ questo intorno non è contenuto in $C^C.$
Consideriamo la successione di intorni $U_{1/k}(x)$ per $k = 1,2,3,...;$ per ogni $k$ esisterà $x_k in U_{1/k}(x)$ tale che $x_k notin C^C,$ ossia $x_k in C.$
D'altronde, la costruzione degli intorni mostra che $x_k rarr x$ (poiché $|x_k - x| < 1/k$).
Poiché per ipotesi, $C$ contiene i limiti delle sue successioni convergenti,
$x in C$ e otteniamo una contraddizione.
Il teorema è dimostrato.

.

[gugo82]

Ti manca un quantificatore esistenziale.

In ogni intorno $U_(1/k)(x)$ esiste almeno un $x_k notin C^c$, perché $U_(1/k)(x)$ non è interamente contenuto in $C^c$.

[tokask]

Chiedo scusa...avevo saltato un riga che ho aggiunto (avevo usato uno smartphone); quindi la dimostrazione è corretta ?

Antonio

[gugo82]

Sì, corretta.

Cosa non ti convince?

[tokask]

Non riesco a capire la dimostrazione della seconda parte; si assume che l'insieme contiene i limiti delle successioni convergenti ovvero $x in C$ e si inizia la dimostrazione supponendo invece che $x in C^c$ e che per assurdo non lo sia ovvero $x in C$ !?
È questo il punto che nn riesco a capire a differenza della prima parte dove la la tesi segue l'enunciato del teorema e procede con la dimostrazione per assurdo.

Antonio

[gugo82]

Che cos’è il nome di una variabile?… Un apostrofo rosa tra la parole “leggi bene ‘sta dimostrazione”.