Rotazione assi intorno all'origine

[Jaeger90]

Salve, sto provando senza risultato a capire come trovare le coordinate dopo la rotazione $alpha$ di un piano cartesiano $xy$ intorno all'origine $O$ che forma un piano $x'y'$.
Secondo il libro le formule sono

$x = x' cos alpha - y' sen alpha rArr x' = x cos alpha + y sen alpha$
$y = x' sen alpha + y' cos alpha rArr y' = -x sen alpha + y cos alpha$

Tuttavia non riesco a capire come faccia a calcolare ognuna di esse.
Già nella prima part, se immagino un triangolo, allora per avere il segmento lungo x, avrei per la formula della trigonometria
$x=x'*cos alpha$
Ma anche in questo pezzo non vedo perchè ci sottragga $y' sen alpha$, essendo un triangolo rettangolo non vedo la necessità di fare altre operazioni.. per il resto non mi trovo proprio... forse mi sfugge qualcosa.. grazie.

[matteo111]

http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html

[Jaeger90]

Grazie. Quando dice che l'angolo BPR vale alpha porta a una pagina che dovrebbe spiegarne il motivo, ma li invece usa PRC.
Credo sia un errore, ma non so come trovare la similitudine tra tali triangoli per provare che vi sia un angolo in comune.

[Bokonon]

Se ad ogni punto (x,y) del piano applichi una rotazione antioraria ottieni:
$ ( ( cos(alpha) , -sin(alpha) ),( sin(alpha) , cos(alpha) ) ) ( ( x ),( y ) )= ( ( x' ),( y' ) ) $
La soluzione è $ ( ( x ),( y ) )= ( ( cos(alpha) , sin(alpha) ),( -sin(alpha) , cos(alpha) ) ) ( ( x' ),( y' ) ) $

[Palliit]

Se nel piano $Oxy$ hai il punto $P(x,y)$, detti $rho=bar(OP)" "$e$" "vartheta" "$l'angolo antiorario tra $OP$ ed il semiasse positivo delle ascisse, hai:

(1) $" "\{(x=rho*cos vartheta),(y=rho*sin vartheta):}" "$;

rispetto al sistema $Ox'y'$ ruotato di un angolo antiorario $alpha$ la pendenza di $OP$ risulta essere $(vartheta-alpha)$, pertanto in tale riferimento è:

(2) $" "\{(x'=rho*cos(vartheta-alpha)),(y'=rho*sin(vartheta-alpha)):}" "$;

sviluppi le (2) con le formule di sottrazione, quindi vi sostituisci le (1) ed hai trovato quello che cercavi.

Moderatore: Palliit

Sposto in Analisi di base.

[Jaeger90]

Grazie a tutti. Capito.
Riguardo la spiegazione al link
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
al rigo "per ricavare le formule inverse possiamo usare il metodo di sostituzione", che lui salta, come procede di preciso?

[Jaeger90]

Up.

[Mephlip]

Per ottenere le formule inverse: inverti i ruoli di $x$ e $y$ con $X$ e $Y$, sostituisci poi $\alpha$ con $-\alpha$.

[Jaeger90]

In che senso ruoli, e perchè angolo negativo?

[Mephlip]

Nel senso che nella prima relazione al membro di sinistra compare $X$ invece di $x$ e al membro di destra compare $x$ al posto di $X$, e così via.
Ragionaci un po': che significa, convenzionalmente, se un angolo ha un segno negativo davanti rispetto a quando non lo ha?
E che significa (ricordando l'obiettivo che ci si è posti all'inizio del problema) se in quelle formule inverti i ruoli delle variabili?
Combinando queste due informazioni si capisce perché funziona fare così.