Dimostrazione equivalenza assiomi di completezza

[LoreT314]

Mi trovo a dover dimostrare la seguente
$RR$ verifica l'assioma di completezza (ovvero ogni suo sottoinsieme superiormente limite ammette estremo superiore in $RR$) se e solo se ogni suo sottoinsieme inferioremente limitato ammette estremo inferiore in $RR$
Per farlo ho pensato prima di dimostrare che
Dato l'insieme $A$ e $A'={x \in RR:-x \in A}, S=(sup A \Leftrightarrow - S=(inf A')} $
Avevo precedentemente già dimostrato che dire
$S=(sup A)\Leftrightarrow \forall M<S, \exists x \in A:x>M$
Usando una proprietà già dimostrata (che $x<=y\Leftrightarrow-x>=y$) posso riscrivere in modo equivalente come
$forall - M> -S\exists x \in A:-x<-M$
Ma se $x in A$ allora per costruzione di $A'$, $-x in A'$
Quindi diventa
$forall - M > - S\exists - x \in A':-x<-M$
Ovvero $-S=(inf A') $ (dato che avevo già dimostrato che $S=(inf A) \Leftrightarrow forall M>S\exists x \in A:x<M$
Fino a qui è corretto?
Dopo aver dimostrato questo ho poi provato a dimostrare il teorema iniziale. Ma qui è corrette o non ha senso? Scusate ma mi sto ancora imoratichendo con le dimostrazioni...

[gugo82]

Vedi i fogli segnalati qui.