Sistema funzioni trigonometriche

[vitunurpo]

Ciao a tutti!
Avrei una domanda circa la soluzione di un sistema per trovare gli autovettori di un certo problema che mi viene dato.

Ecco cosa mi si presenta.
$ ( ( E_0-B , Delta ),( Delta , -E_0-B ) ) ( ( x ),( y ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $

Quindi il sistema, considerando che
$ sintheta=Delta/B $ e $ B=sqrt(E_0^2+Delta^2) $

si ottiene $ { ( (E_0/B -1)x+sintheta y=0 ),( sinthetax-(E_0/B+1)y=0 ):} $
Bene, da qua in poi ogni sorta di modo in cui lo risolvo non mi porta al risultato che dovrebbe essere

x= $ cos(theta/2) $ e y= $ sin(theta/2) $

Un suggerimento?
Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao vitunurpo,

Il sistema proposto è il seguente:

$ { ( (E_0/B -1)x+sin\theta y=0 ),( sin\theta x-(E_0/B+1)y=0 ):} $

Dato che nel risultato proposto compare solo $\theta $, deve essere possibile esprimere $E_0/B $ in termini di $\theta $, ed infatti dalle equazioni $ sin\theta = \Delta/B $ e $ B = sqrt{E_0^2 + \Delta^2} $ si ha:

$ B^2 = E_0^2+Delta^2 = E_0^2 + B^2 sin^2\theta \implies 1 = E_0^2/B^2 + sin^2\theta \implies E_0^2/B^2 = 1 - sin^2\theta = cos^2\theta \implies E_0/B = cos\theta $

Perciò si ha:

$ {((cos\theta -1)x+sin\theta y=0 ),(sin\theta x-(cos\theta+1) y=0):} $

A questo punto, ricordando che $sin\theta = 2 sin(\theta/2)cos(\theta/2) $ e $1 + cos\theta = 2 cos^2(\theta/2) $ e $1 - cos\theta = 2 sin^2(\theta/2) $, si ha:

$ {(- 2sin^2(\theta/2) x+ 2 sin(\theta/2)cos(\theta/2) y=0 ),(2 sin(\theta/2)cos(\theta/2) x-2 cos^2(\theta/2) y=0):} $

$ {(- 2sin(\theta/2)[sin(\theta/2) x- cos(\theta/2) y]=0 ),(2 cos(\theta/2)[sin(\theta/2) x - cos(\theta/2) y]=0):} $

Affinché si annulli il termine entro la parentesi quadra...

[vitunurpo]

Perfetto!! Io ero arrivato fino al punto in cui trovavo il coseno, dopo mi ostinavo a risolvere senza usare la formula di duplicazione e bisezione...o meglio, ci ho provato pure con quelle ma cannavo la sostituzione giusta
Grazie mille!