Dimostrazione teorema "ogni successione convergente è limitata"

[giacomo24]

Ciao a tutti!
Stavo rileggendo la dimostrazione del teorema in questione:

Dimostrazione.

Sia $ l $ $ in $ $ mathbb(R) $ il limite di $ a_n $. Per ipotesi $ EE $ $ nu_ epsilon $ $ in $ $ mathbb(N) $ : $ |a_n-l|<epsilon , AA n>nu_epsilon $.

Se ne deduce che

$ |a_n| = |a_n +l-l|<= |a_n-l| +|l| <= 1+|l| , AA n> nu_\epsilon $

$ ** $ Dato che l'insieme formato dai primi $ nu_\epsilon $ termini della successione è finito è anche limitato.

Sia $ M=max|a_n| , nin {1,cdots ,nu_\epsilon}. $

Concludiamo che

$ |a_n|<= max{1+|l|,M},AA nmathbb(in mathbb(N) ) $


Ed è tutto il pomeriggio che cerco di capire il perchè dei passaggi dopo l'asterisco $ ** $

Grazie in anticipo a chi riuscirà ad aiutarmi a capire!

[Quinzio]

Dato che l'insieme formato dai primi νε termini della successione è finito è anche limitato.

E' questo che non capisci ?
$ nu_epsilon $ e' un numero intero.
Quindi da $1$ a $ nu_epsilon $ gli $a_n$ sono un insieme finito, ad esempio sono da 1 a 5.
E quindi l'insieme e' anche limitato, ovvero c'e' uno degli $a_n$ che e' il massimo.
Invece da $ nu_epsilon $ ci sono infiniti $a_n$, ma per la definizione di limite non si discostano piu' di $\epsilon$ dal limite.
Quindi tutta la successione e' limitata.