Sergio ha scritto:gugo, perdonami ma non ho mai visto niente di più complicato, e mi viene la tentazione di dire che non ho mai visto niente di più inutilmente complicato (fatta eccezione per un paio di dimostrazioni di Takayama). Sicuramente questo dipende dal fatto che di matematica ne ho vista moooooolto meno di te, e l'evento "mi sfugge qualcosa di sostanziale" è quasi-certo. Però fammi provare.
Non è complicato, bisogna solo rifletterci su.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ok, $S_(l, epsilon)$ non è vuoto, ma per il resto "dove abita"?
Può essere $S_(l, epsilon) \setminus text(Dom)(f)\ne emptyset$? Mi pare difficile: a che pro avventurarsi fuori di $text(Dom)(f)$?
Ma allora $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non è altro che $x in S_(l,epsilon)$ e ovviamente $S_(l,epsilon) sube text(Dom)(f)$.
Formalmente, sono d’accordo con te.
Tuttavia, ricorderai che i calcoli si fanno (a volte) tagliando le cose con l’accetta e “dimenticandosi” del dominio delle funzioni coinvolte, determinando così delle
soluzioni probabili (quelle che ho indicato con $S_(l,epsilon)$) per la disequazione; le
soluzioni effettive si determinano “a posteriori”, andando a scremare quelle
accettabili (i.e., appartenenti a $text(Dom) (f)$) tra le soluzioni probabili.
Così è da leggere la condizione $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Ok. Ma se intendi $x in X$ per ogni $X sube S_(l,epsilon)$, questo vuol dire: per ogni $x\in S_(l,epsilon)$ esiste un $epsilon$ tale che $|f(x) - l| < epsilon$.
No, intendo proprio quel che ho scritto.
Il valore del parametro $epsilon$, nel momento in cui si fanno i conti, è da considerarsi fissato.
Sergio ha scritto:Ma cosa è $S_(l,epsilon)$? È un insieme tale che $|f(x) - l| < epsilon$ se e solo se $x\in S_(l,epsilon)$.
Se prescindiamo dai sottoinsiemi propri di $S_(l,epsilon)$ (a che servono? poi non li usi più) si rischia la tautologia. Voglio dire che non vedo l'utilità di quei sottoinsiemi propri, non vedo cosa aggiunga quel "ne viene che".
Risolvere elementarmente la disequazione $|f(x) - l| < epsilon$ significa usare un po’ di algebra per determinare esplicitamente un(a proprietà caratteristica dell’)insieme delle soluzioni, i.e. individuare tutti e soli i valori della incognita $x$ per i quali è vera la disuguaglianza $|f(x) - l| < epsilon$. Il “tutti e soli” vuol dire che l’insieme delle soluzioni che vai a determinare è quello “più grande possibile”, quello
massimale: infatti, se $x$ appartiene all’insieme calcolato allora soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ e, viceversa, se $x$ soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ allora appartiene all’insieme che hai calcolato.
Quando prendi un sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$, hai certamente $x in X => |f(x) - l| < epsilon$ perché $X$ è un sottoinsieme dell’insieme delle soluzioni della disequazione e, tuttavia, non vale l’implicazione inversa poiché nessuno (in linea di principio) ti assicura che ogni soluzione di $|f(x) - l| < epsilon$ cada in $X$.
Sergio ha scritto:Veniamo piuttosto al concreto: cos'è mai questo $S_(l,epsilon)$?
È un sottoinsieme del dominio (voglio ben sperare!), proviamo a dargli un "faccia". Direi: $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|f(x) - l| < epsilon,epsilon>0\}$.
Questo vuol dire, in concreto, che si tratta di trovare i valori di $x$ per cui $|f(x) - l| < epsilon$ per un qualsiasi $epsilon$ strettamente positivo.
Già… Ma, come ricordato più sopra, in parecchi casi concreti i conti si fanno non considerando il dominio e ripescandolo solo dopo.
Sergio ha scritto:Tornando all'esempio: dato che $|cos x-1|<x^2/2$ per $x>0$, ponendo $epsilon=x^2/2$ ottieni $|x|=sqrt(2 epsilon)$.
Quindi, nel caso dell'esempio, $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|x|=sqrt(2 epsilon)\}$. Infatti: $|cos sqrt(2 epsilon) -1|<epsilon$.
Sembrava un oggetto così misterioso...
Questo non è un esempio della situazione che sto descrivendo.
Infatti, la disequazione da risolvere è $|cos x - 1| < epsilon$ e tu non lo fai, non la risolvi esplicitamente… Anzi, usi un “trucco” (la maggiorazione) che ti consente proprio di non fare il conto esplicito e ti semplifica il problema, perché “magicamente” ti fa trovare subito l’intorno di $0$ che ti serve.
Ma, invece, risolviamola ‘sta disequazione… In altri termini, proviamo con l’uso “duro e puro” della definizione che $lim_(x -> 0) cos x = 1$.
Evidentemente, il dominio della nostra funzione è $RR$, quindi non dobbiamo imporre restrizioni di sorta.
Abbiamo:
$| cos x - 1| < epsilon <=> 1 - epsilon < cos x < 1 + epsilon <=> \{ (cos x < 1 + epsilon), (cos x > 1 - epsilon) :}$
ed, evidentemente, la prima disequazione è verificata ovunque, perciò risulta:
$| cos x - 1| < epsilon <=> cos x > 1 - epsilon$.
Ora, se $ epsilon > 2$ la disequazione $cos x > 1 - epsilon$ è sempre verificata.
Per $epsilon = 2$ la disequazione diviene $cos x > -1$ che è soddisfatta per $x != (2k+1) pi$ (con $k in ZZ$).
dunque $S_(1,2) = RR \setminus \{ (2k+1) pi, k in ZZ\} = cup_(k in ZZ) ](2k-1) pi, (2k+1) pi[$.
Per $0< epsilon < 2$ le cose si fanno più interessanti, giacché la disequazione $cos x > 1 - epsilon $ è soddisfatta da tutti gli $x$ che soddisfano limitazioni del tipo $-arccos (1-epsilon) + 2k pi < x < arccos(1-epsilon) + 2k pi$ (con $k in ZZ)$.
Dunque abbiamo stabilito che:
\[
S_{1,\varepsilon} = \begin{cases} \mathbb{R} &\text{, se } \varepsilon > 2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ](2k-1) \pi, (2k+1) \pi[ &\text{, se } \varepsilon =2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ] - \arccos (1- \varepsilon) + 2k \pi, \arccos (1 - \varepsilon) + 2k \pi[ &\text{, se } 0 < \varepsilon <2 \end{cases}
\]
e, visto che il dominio del coseno non impone restrizioni, possiamo ben dire che $|cos x -1| < epsilon <=> x in S_(1,epsilon)$.
Da com’è definito $S_{1,\varepsilon}$ si capisce che, per ogni $epsilon > 0$, si può isolare in $S_(1,epsilon)$ un opportuno intorno forato $I_(0,delta)^’$ di $0$: per fare ciò basta scegliere come semiampiezza $delta=delta_(0,epsilon)$ la quantità:
$delta := \{ (pi, text(, se ) epsilon >= 2), (arccos(1 - epsilon), text(, se ) 0<epsilon<2) :}$
(ma, ovviamente, nulla vieta di scegliere un $delta$ diverso dal precedente
1, a patto che l’intorno individuato continui ad essere contenuto in $S_(1,epsilon)$).
Poiché un tale intorno forato $I_(0,delta)^’$ è contenuto in $S_(1,epsilon)$ è evidente che $x in I_(0,delta) => |cos x - 1| < epsilon$, ossia che $0<|x|<delta => |cos x - 1| <epsilon$, cosicché la definizione di limite è soddisfatta.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Mamma mia! Provo a tradurre.
Mi interessano i casi in cui $x$ tende (si avvicina) a $x_0$, mi interessa cioè un intorno di $x_0$. Non mi interessa quello che succede in $x_0$ (in cui $f$ potrebbe non essere definita, o presentare una discontinuità, e mi sembrerebbe utile precisarlo), quindi mi interessa un intorno forato di $x_0$, cioè un intervallo $(x_0-delta,x_0+delta)\setminus x_0$. Bene.
Yessir.
Sergio ha scritto:"Se riesci a isolare un opportuno interno forato ... hai certamente...". E che vuol dire "opportuno"?
Opportuno vuol dire: un $x in S_(l,epsilon)$ tale che $|x-x_0|<delta$ per un qualche $delta$.
No.
“Opportuno” vuol dire “un $delta >0$ scelto in modo che $I_(0,delta) sube S_(l,epsilon)$” o, se vuoi, “un $delta >0$ scelto in modo che $0<|x - l| < delta => x in S_(l,epsilon)$.
Sergio ha scritto:Piccola aggiunta: deve trattarsi di un $delta$ dipendente da $epsilon$, in quanto anche $S_(l,epsilon)$ dipende da $epsilon$.
No, questo in generale non è vero.
Prendi $f(x) = l$ e dimostra che $lim_(x -> x_0) f(x) = l$: troverai che puoi prendere sempre $delta_(x_0,epsilon) = 1$ (o $=1237$, ovvero $=pi/sqrt(2e)$) indipendentemente dalla scelta di $epsilon$.
Sergio ha scritto:gugo82 ha scritto:Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.
E così la faccenda di $S_(l,epsilon)$ si riduce a "risolvere la disequazione"
Beh, questo l’avevo scritto all’inizio.
Sergio ha scritto:(ma quali sono i casi in cui, per funzioni $f:X sube RR to RR$, la faccenda non si riduce a risolvere una disequazione?).
Può non essere così elementare (non è proprio immediato che $|cos x-1|<x^2/2$), ma in fondo si tratta solo di risolvere una disequazione.
Cosa vuol dire "risolvere una disequazione"? In alcuni casi è semplice (
link), in altri un po' meno (ad es.
link). Pazienza.
Anche questo, l’avevo scritto (mi riferivo al caso delle disequazioni elementari)… Nei casi più complicati si può ragionare in maniera diversa, cercando di evitare contazzi espliciti.
Sergio ha scritto:Una volta trovate le soluzioni, si cerca "di isolare un intorno forato". Cioè?
Si cercano valori delle soluzioni che appartengano a un intorno (forato) di $x_0$. Si cercano cioè soluzioni $x$ tali che $0<|x-x_0|<delta_epsilon$ (inciso: è possibile la ricerca anche se non si è mai sentito parlare di "intorni forati"? per la mia piccolissima esperienza risponderei: ahimé, sì).
Sai meglio di me che non è necessario conoscere il gergo per far funzionare qualcosa: la lavatrice la so far funzionare anche se non conosco il termine tecnico per indicare il cestello (e lo chiamo, ad esempio, “cippiciappi”).
Sergio ha scritto:Qui c'è poco da fare, si deve andare caso per caso.
Nel caso dell'esempio, per valori "piccoli" di $|x-x_0|$ (per $x_0=0$ e $x in [-pi,pi]$), si ha che $|cos x-1|$ aumenta e diminuisce con $x$, quindi basta prendere $|x-x_0|=|x|<sqrt(2 epsilon)$: se $|x|<sqrt(2 epsilon)$, allora $|cos x-1|<epsilon$.
Insomma, in tanti anni è la prima volta che ti vedo... a cavallo di una tangente. Dove sbaglio?
Da nessuna parte, dovevi solo realizzare meglio ciò che ho scritto.
Spero che l’esempio svolto sopra sia d’aiuto…
Ed a proposito: come si modifica l’esempio se scelgo di lavorare con la funzione $cos x$, ma ristretta solo a $QQ$?
(Cioè, come faccio, con la definizione, a provare che $lim_(x ->0) cos x =1$ considerando $text(Dom)(cos) = QQ$?)
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)