Aiuto risoluzione funzione

[lolopoo]

Ho questa funzione

$ f(x)=sqrt(x^2+x)+1 $

Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i mimiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k

Sto procedendo cosi

1) dominio $ x<= -1 x>= 0 $

2)$ lim_(x -> -oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> +oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> -1 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $
$ lim_(x -> 0 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $

Pero non so se fin qui ho fatto bene e come sono gli asintoti

[pilloeffe]

Ciao lolopoo,

Benvenuto sul forum!

Brevemente, con $f(x) = sqrt(x^2+x)+1 $:
1) va bene, ma l'hai scritto male: meglio scrivere $ x <= - 1 \vv x >= 0 $ oppure $D = (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) $
2) Occhio che non hai scritto $\lim $ nel secondo passaggio...
Si ha:

$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $

Per gli altri due limiti sarei più preciso, perché quelli che hai scritto non esistono, mentre invece esistono i limiti seguenti:

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1 = f(-1) = lim_{x \to - 1^-} f(x) $

Però non so se fin qui ho fatto bene e come sono gli asintoti

Beh, vai avanti: il fatto che $\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $ significa che non ci sono asintoti orizzontali, ma possono esserci asintoti obliqui (ed in effetti ci sono... )

[lolopoo]

i Primi sono asintoti verticali ?

e per quelli obliqui non ho capito bene come calcolarli

credo che $ y= mx+q $

con $ m!= 0 $

quindi

$ lim_(x -> (+ /-)oo ) (sqrt(x^2+x)+1)/x=m $
e
$ lim_(x -> (+ /-)oo )(sqrt(x^2+x)+1)-mx=q $

[pilloeffe]

i Primi sono asintoti verticali ?

Eh? Quali "Primi"? Non c'è alcun asintoto verticale...

Per gli asintoti obliqui pensavo li sapessi calcolare, per questo non mi sono soffermato. Comunque un asintoto obliquo è una retta di equazione $y = mx + q $, ove nel caso in esame si ha:

$m = \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}(sqrt(x^2+x)+1)/x = \lim_{x \to +\infty}sqrt(1+1/x)+1/x = 1 $

$q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 3/2 $

Dunque il primo asintoto obliquo ha equazione $y = x + 3/2 $
Poi si ha:

$m = \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty}(sqrt(x^2+x)+1)/x = \lim_{x \to -\infty}- sqrt(1+1/x)+1/x = - 1 $

$q = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to -\infty} [f(x) + x] = 1/2 $

Dunque il secondo asintoto obliquo ha equazione $y = - x + 1/2 $

[lolopoo]

Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando

i miei dubbi sono:
1) dai limiti di x che tende a zero e a -1 si ottengono asintoti ?
2)una volta ottenuto le equazioni degli asintoti obliqui per rappresentarli graficamente devo mettere a sistema l equazione con y=0 e poi x=0 per ottenere i punti ? o dico cavolate ?

[pilloeffe]

Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando

Prego.

1) dai limiti di x che tende a zero e a -1 si ottengono asintoti ?

Quando una funzione ha un asintoto verticale e (visto che ci siamo) un asintoto orizzontale? Credo tu debba andare a rivedere questa parte di teoria...

2)una volta ottenuto le equazioni degli asintoti obliqui per rappresentarli graficamente [...]

Gli asintoti obliqui sono rette. Dato che come dovrebbe esserti noto per due punti passa una ed una sola retta, per rappresentare graficamente una retta è sufficiente trovare due suoi punti magari scegliendo un paio di valori di $x$ comodi...
Ad esempio l'asintoto obliquo $ y = x + 3/2 $ passa per il punto $A(0, 3/2) $ e per il punto $B(-3/2, 0)$, quindi...

[lolopoo]

ok grazie ancora

credo che la funzione non abbia nè asintoti verticali nè orizzontali

giusto ?

[pilloeffe]

Giusto, ma non dovresti credere, dovresti esserne sicuro...

Non esiste alcun $x_0 in \RR $ tale che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti verticali; inoltre non esiste alcun $l \in RR $ tale che $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti orizzontali. Se invece risulta $l = \pm \infty $ allora la funzione non ha asintoti orizzontali, ma può avere asintoti obliqui (come nel caso in esame).

[lolopoo]

ok spiegazione chiarissima . grazie

Passando al terzo punto ora

calcolo la derivata prima che mi da

$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1)) $

la pongo maggiore o uguale a zero e ottengo

$ x>0 $

quindi zero è un minimo

quindi la funzione è crescente x maggiore di zero e decrescente per x minore di zero

ma staro sbagliando qualcosa

[pilloeffe]

Eh sì... Dove è definita la derivata? Cosa succede alla derivata nei punti $x = 0$ e $x = -1$?