Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

[Luk_3D]

Avendo $x^2+4y^2=4 $ dividerei tutto per $4 $ sicché $ 1/4 x^2 + y^2 = 1 $ e poi parametrizzerei nel modo seguente:

$ {(x = 2 cos t),(y = sin t):} $

Potresti spiegarmi il procedimento? Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?

[pilloeffe]

Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?

Beh di tutte magari no, ma almeno di ellisse e circonferenza, iperbole e parabola sì...
Nel caso in esame si riconosce subito un'ellisse di semiassi $a = 2 $ (sull'asse $x$) e $b = 1 $ (sull'asse $y$).

[Luk_3D]

Dovrei imparare l'equazione di tutte le coniche?

Beh di tutte magari no, ma almeno di ellisse e circonferenza, iperbole e parabola sì...
Nel caso in esame si riconosce subito un'ellisse di semiassi $a = 2 $ (sull'asse $x$) e $b = 1 $ (sull'asse $y$).

Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4$ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.

$ { ( x=sqrt(t) ),( y=sqrt(1-(t/2)^2) ):} $

Come mai questo metodo (quello dove pongo $t = x$) in questo caso non ha funzionato?

[pilloeffe]

Come mai questo metodo (quello dove pongo $t=x$) in questo caso non ha funzionato?

Non è ciò che hai scritto:

Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4 $ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.

$ {(x = sqrt(t)),(y = sqrt(1-(t/2)^2)):} $

Poi, posto che sia in effetti $x = t $ (e non $x = sqrt(t)$), chi ti autorizza a scegliere la soluzione positiva per $y $ e non quella negativa? Disponi di informazioni supplementari che non hai condiviso nel post iniziale?
In generale non è che una parametrizzazione funziona ed un'altra no: si tratta di vedere qual è quella più comoda da utilizzare successivamente in un integrale... "Funziona" anche quella che hai proposto tu se è corretta anche se magari come hai scritto

[...] non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.

[Luk_3D]

Capito, grazie mille!