Salve a tutti, dopo tanto tempo come lettore silente adesso anche io sono passato all'azione
Spero possiate darmi una mano con un esercizio sulla sommabilità di funzione, il testo indica quanto segue:
Individuare i valori del parametro $\beta \in \mathbb{R}$ per cui risulta sommabile nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ la funzione
\begin{equation*} f(x)=\left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}\end{equation*}
La mia idea di svolgimento è la seguente:
in quanto la funzione $x^2$ risulta essere a simmetria pari nell'intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$, ho pensato di considerare solamente il sottointervallo $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$, e poichè la funzione $f(x)$ in tale sottointervallo risulta essere non negativa
\begin{equation*} \left| f(x) \right|= f(x) \qquad \forall x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \end{equation*}
considerando lo studio della sommabilità come se fosse uno studio di integrabilità...
Comunque, guardando la funzione definisco il problema ai limiti per $x\rightarrow 0^+$, per cui calcolo il limite definendo $\beta$
\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}=\begin{cases}1 & \beta \geq 0\\\infty & \beta<0\end{cases}\end{equation*}
Per $\beta \in \left[0,\infty)$ la funzione risulta essere sommabile...
Per $\beta \in \left(-\infty,0\right)$ è necessario calcolare l'integrale improprio...
Giusto?...
Quello che non riesco a capire ora, è come applicare i criteri di convergenza, tra cui quello del confronto asintotico con una funzione nota da cui la mia professoressa ha definito poi un corollario
Spero possiate aiutarmi a capire, grazie a tutti.