Buongiorno a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia data la $ sum_(k=0)^(oo)((-1)^kx^(2k+1))/(k!) $ .
- Determinare insieme di convergenza puntuale e l'insieme in cui la serie converge alla funzione somma. Si scelga uno di questi intervalli e ivi si provi la convergenza uniforme.
Io ho ragionato così:
Abbiamo $ a_k=((-1)^k)/(k!) $ e $ x_0=0 $
Mi son calcolato il raggio di convergenza col criterio del rapporto, facendo:
$ lim_(k -> oo) abs((-1)^(k+1)/((k+1)!)(k!)/(-1)^k)=lim_(k->oo)abs((-1)/(k+1))=0 $
Poichè il limite vale 0, il raggio di convergenza è +infinito.
Quando il raggio di convergenza è +infinito la serie converge puntualmente in ogni x appartenente ai reali e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato del tipo $ [x_0-k; x_0+k] $
Tuttavia non sono riuscito a rispondere adeguatamente al quesito. Potreste aiutarmi?