proprietà dell'integrale di Riemann

[dissonance]

Ma l'ho scritto sopra, devi ragionarci un po' su. Se riesci a dimostrare che
\[\tag{1}
F \text{ è integrabile }\Rightarrow F^2\text{ è integrabile},\]
allora date \(f, g\) integrabili, siccome \(f+g\) e \(f-g\) sono integrabili, lo è anche
\[
(f+g)^2+(f-g)^2.\]

[Aletzunny]

ho provato ma non sono per nulla sicuro del risultato.

allora se $f$ è integrabile vuol dire che esitono $j_n$ e $k_n$ a scala, $k_n<=f<=j_n$ tali che
$0<= \int_I j_n$ $-$ $\int_I k_n$ $->0$
allora $k_n*k_n <=f*f<=j_n*j_n$ dove $k_n*k_n$ e $j_n*j_n$ sono ancora a scala.

il mio dubbio sorge adesso, nel senso che non sono sicuro che

$0<= \int_I j_n*j_n$ $-$ $\int_I k_n*k_n$ $->0$

nel caso ciò fosse vero allora avrei dimostrato che $f^2$ è R integrabile.

[dissonance]

Ah ecco, vedi già c'è una cosa importante, tu non usi la definizione di Darboux, quella con le somme superiori e inferiori, ma quella con le funzioni a scala. Questo va specificato bene. Spiega per favore la definizione di "funzione Riemann-integrabile" che usi, grazie

[gugo82]

In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...

[Aletzunny]

Ah ecco, vedi già c'è una cosa importante, tu non usi la definizione di Darboux, quella con le somme superiori e inferiori, ma quella con le funzioni a scala. Questo va specificato bene. Spiega per favore la definizione di "funzione Riemann-integrabile" che usi, grazie

Come definizione usiamo proprio questa: nel senso sia $f:I->RR$ allora sono equivalenti

$1)$ $f$ è Riemann integrabile

$2)$ esistono succesioni $k_n$ e $j_n$ a scala con $k_n<=f<=j_n$ tali che

$0<=\int_I j_n$ $-$ $\int_I k_n$ $->0$

[gugo82]

In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...

Questo dipende dal fatto che ci possono essere problemi coi valori negativi.

Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)¹ e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.

---

Note

1. Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$. ↑

[Aletzunny]

In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...

Questo dipende dal fatto che ci possono essere problemi coi valori negativi.

Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)¹ e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.

Onestamente non so più come dirlo!
La dimostrazione ho provato a farla e l'ho scritta sopra...ma, come giustamente mi avete fatto notare, è sbagliata...
Purtroppo ho anche altre materie da preparare...
Possibile che non si può trovare online o avere come "aiuto"?

Mi pare che io di impegno ne ho messo.

La dimostrazione che $f_+$ e $f_-$ sono integrabili l'ho in mente perché l'abbiamo fatta a lezione.

Grazie

---

Note

1. Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$. ↑

[gugo82]

Ma allora scrivi... Che ci vuole!
Vuoi fermarti a un metro dal traguardo?


P.S.: Studiare una dimostrazione e basta non serve a nulla, cioè non aggiunge niente al tuo bagaglio di conoscenze della Matematica.
Se l'argomento ti interessa, prova a scrivere la dimostrazione da te; altrimenti, lascia perdere e vai avanti.

[Aletzunny]

Ma allora scrivi... Che ci vuole!
Vuoi fermarti a un metro dal traguardo?


P.S.: Studiare una dimostrazione e basta non serve a nulla, cioè non aggiunge niente al tuo bagaglio di conoscenze della Matematica.
Se l'argomento ti interessa, prova a scrivere la dimostrazione da te; altrimenti, lascia perdere e vai avanti.

Vero...come ho scritto sopra ci ho provato ma non riesco a venirne a una...e purtroppo all'esame chiedono le dimostrazioni!
Per questo ho chiesto...e spero(ancora) che qualcuno mi possa aiutare.
Grazie

[gugo82]

La dimostrazione te l’abbiamo scritta io e dissonance.

Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)¹ e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.

Tu devi solo formalizzare.

---

Note

1. Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$. ↑