Dimostrazione teorema funzioni monotone

[Aletzunny]

Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)<f(x0)$ e dunque $Supf(x)<=f(x0)$ finito. Dunque $Supf(x)$ esiste finito. Inoltre dato $k>0$ per definizione di Sup esiste $xk in (a,x0)$ tale che $Supf(x)-k<f(xk)<Supf(x)$ e poiché $f$ è monotona crescente si conclude che $AA x,xk<x<x0$ si ha che $Supf(x)-k<f(xk)<f(x)<Supf(x)$ e dunque esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x)$ finito.

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e poiché $f$ è monotona crescente si conclude che $AA x,x0<x<xk$ si ha che $Inff(x)<f(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e dunque esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie

[gugo82]

Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

[...]

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?).

Se hai capito perché $f(x)<=f(x_0) => "sup" f " finito"$ non dovresti avere problemi a rispondere da solo.

Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e poiché $f$ è monotona crescente si conclude che $AA x,x0<x<xk$ si ha che $Inff(x)<f(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e dunque esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Giusto... A parte una disuguaglianza.


P.S.: Per favore, correggi i pedici... Dopo quasi 900 post non si possono vedere formule con $xk$ al posto di $x_k$.

P.P.S.: I comandi per gli estremi inferiore e superiore in MathML non esistono. Si può sopperire con i codici:

Codice:

"inf"
"sup"

[Aletzunny]

Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$

$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$

[...]

La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:

dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?).

Se hai capito perché $f(x)<=f(x_0) => "sup" f " finito"$ non dovresti avere problemi a rispondere da solo.

Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e poiché $f$ è monotona crescente si conclude che $AA x,x0<x<xk$ si ha che $Inff(x)<f(x)<f(xk)<Inff(x)+k$ e dunque esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.

Giusto... A parte una disuguaglianza.


P.S.: Per favore, correggi i pedici... Dopo quasi 900 post non si possono vedere formule con $xk$ al posto di $x_k$.

P.P.S.: I comandi per gli estremi inferiore e superiore in MathML non esistono. Si può sopperire con i codici:

Codice:

"inf"
"sup"

Allora è proprio lì che non sono sicuro di aver capito benissimo.

Pensavo che il fatto che $f(x)<=f(x_0)$ implicasse che nell'intervallo $(a,x_0)$ allora il $Supf(x)$ $AA x in(a,x_0)$ fosse di certo minore di $f(x_0)$ e dunque finito.

Ma è qui probabilmente che sbaglio e quindi non capisco il caso dell'$Inf f(x)$.
Potresti aiutarmi?

Invece che errore c'è nella seconda parte?

[gugo82]

Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

[Aletzunny]

Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

Il sup è il più piccolo dei maggioranti tale che data l'insieme $A$ si ha che $a<=lambda$ $AA a$ dove $lambda$ è il sup.

Dovrei mettere invece $Inf f(x)<=f(x)$ ?

[Aletzunny]

Perché dovresti sbagliare?

Che cos'è il $"sup"$?

Per quanto riguarda l'errore, perché $"inf" f < f(x)$?

Però ancora non mi è chiaro perché da $f(x)>=f(x_0)$ $AA x in (x_0,b)$ e da $Inf f(x)>=f(x_0)$ si ha che l'$Inf f(x)$ è finito.

[gugo82]

Quali valori sono possibili per lo $"inf"$ di un insieme?
E per lo $"inf"$ di una funzione?


P.S.: Sì, ci va la disuguaglianza larga.

[Aletzunny]

Quali valori sono possibili per lo $"inf"$ di un insieme?
E per lo $"inf"$ di una funzione?


P.S.: Sì, ci va la disuguaglianza larga.

Perfetto allora la disuguaglianza è sistemata.

Ora devo capire la prima parte della dimostrazione:
Allora dato un insieme $A$ l$Inf f(x)$ è il più grande dei minoranti, cioè $AA a$ si ha che $lambda<=f(x)$ dove $lambda$ è l'$Inf f(x)$.

Mentre onestamente non ho compreso cosa intendi con "quali valori" sono possibili per l'$"inf"$ di una funzione? cioè nella mia idea(teoricamente l'$"inf"$ di una funzione non è stato trattato a lezione)l'$"inf"$ di una funzione sarebbe il valore più piccolo che la funzione può assumere (però così mi puzza tanto di definizione di minimo)

[gugo82]

Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

[Aletzunny]

Non hai risposto alla domanda. Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?

Per quanto riguarda le funzioni, vai a studiare la teoria.


P.S.: Ma questa è roba di Analisi I, mentre stai chiedendo cose di Analisi II... Mi spieghi che succede?

Alla domanda non ti ho risposto perché non so rispondere onestamente.
La teoria di analisi 1 che ho seguito non parla dell' $"inf"$ e del $"suf"$ di funzioni(mette questi teoremi nella teoria sui limiti) e ho provato a guardare sui libri che ho a casa ma ho trovato pochissimo.

Semplice...con tutto questo macello per il covid 19 ho Analisi 1 da dare l'orale(dunque tutta teoria) e intanto l'università stacaricando tramite video di qualche anno fa il corso di analisi 2