Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

[Silent]

Aspe'...

E chi si muove

[gugo82]

In realtà pensavo si potesse usare la definizione di integrale di Riemann (scegliendo in modo decente le partizioni) ed il fatto banale che la media d'ordine $p$ di numeri positivi converge verso la norma del massimo quando $p->oo$.
In altri termini, qualcosa del genere: scegliendo (per comodità) una successione crescente di decomposizioni, chiamiamole $D_N = \{ a=x_0^N < x_1^N < \cdots < x_(N-1)^N < x_N^N = b\}$,¹ dell'intervallo $[a,b]$ e fissando come punto $xi_n^N = x_n^N$, si ha:
\[
\lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \| u\|_p
\]
e pure:
\[
\lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
quindi basterebbe poter scambiare i limiti per ottenere:
\[
\lim_{p\to +\infty} \| u\|_p = \lim_{p\to +\infty} \lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
e dimostrare che:
\[
\lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\} = \max_{[a,b]} |u| = \| u\|_\infty
\]
per ottenere la tesi.

Per lo scambio dei limiti, servirebbe un po' di convergenza uniforme; mentre per l'ultimo limite mi sa che la continuità uniforme può essere d'aiuto.

Non ho pensato ai dettagli, ma puoi provare a vedere se è fattibile.

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Note

1. Ad esempio, quella che si ottiene dividendo $[a,b]$ in $2$, $4$, $8$, ..., $2^N$, ... parti uguali. ↑

[Silent]

Ho capito la linea di pensiero, anche se vedo che effettivamente richiede le nozioni di convergenza uniforme e continuità uniforme.
Comunque me la salvo, ti ringrazio.