soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti non costanti

Messaggioda mat5teo » 13/04/2020, 12:05

Salve a tutti,

avreste dei suggerimenti per risolvere la seguente equazione:

$ (d^(2)u(r)) / (dr^2)-C/r^12*u(r)=0 $

(C è una costante).

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
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Re: soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti non costanti

Messaggioda gugo82 » 13/04/2020, 13:03

Così "a occhio", mi pare che l'integrale generale coinvolga le funzioni di Bessel...

Sicuro ti serva risolverla esplicitamente?
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Re: soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti non costanti

Messaggioda pilloeffe » 13/04/2020, 16:56

Ciao mat5teo,

Posso chiederti che cosa stai studiando e da dove viene fuori l'equazione differenziale proposta?
Sicuro che sia scritta bene senza errori?
Perché così com'è scritta la soluzione coinvolge le funzioni speciali $\Gamma(x) $ e le funzioni di Bessel modificate del primo tipo

$I_{\nu}(z) =(1/2 ⁢z)^{\nu}⁢\sum_{k = 0}^{+\infty}(1/4 ⁢z^2)^k/(k!⁢\Gamma⁡(\nu+k+1)) = \sum_{k = 0}^{+\infty}(z/2)^{2k + \nu}/(k!⁢\Gamma⁡(\nu+k+1)) $

mat5teo ha scritto:(C è una costante).

Almeno questa costante $C$ è positiva?
Ci puoi dire qualcosa di $r$? E' positiva o al più nulla anche $r$?

Infine, non è che per caso disponi di condizioni al contorno, tipo ad esempio $u(0) = u_0 $ e $u'(0) = v_0 $ ?
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Re: soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti non costanti

Messaggioda mat5teo » 26/04/2020, 11:34

pilloeffe ha scritto:Ciao mat5teo,

Posso chiederti che cosa stai studiando e da dove viene fuori l'equazione differenziale proposta?
Sicuro che sia scritta bene senza errori?
Perché così com'è scritta la soluzione coinvolge le funzioni speciali $\Gamma(x) $ e le funzioni di Bessel modificate del primo tipo

$I_{\nu}(z) =(1/2 ⁢z)^{\nu}⁢\sum_{k = 0}^{+\infty}(1/4 ⁢z^2)^k/(k!⁢\Gamma⁡(\nu+k+1)) = \sum_{k = 0}^{+\infty}(z/2)^{2k + \nu}/(k!⁢\Gamma⁡(\nu+k+1)) $

mat5teo ha scritto:(C è una costante).

Almeno questa costante $C$ è positiva?
Ci puoi dire qualcosa di $r$? E' positiva o al più nulla anche $r$?

Infine, non è che per caso disponi di condizioni al contorno, tipo ad esempio $u(0) = u_0 $ e $u'(0) = v_0 $ ?


Sarebbe l'equazione approssimata che risulta considerando l'equazione di Schrodinger con potenziale di Lennard Jones nel limite in cui r tende a zero.
C è positiva
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Re: soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti non costanti

Messaggioda gugo82 » 26/04/2020, 20:03

@ mat5teo: In questi casi, l'unica via possibile è il metodo di Frobenius, che consiste nel supporre che la EDO abbia soluzioni esprimibili mediante serie di potenze (e questo è vero in molti casi di interesse applicativo) e determinare i coefficienti dell'espansione in serie usando la EDO.
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