Dubbio teorico autovalori di un'hessiana

Messaggioda Shikari » 23/04/2020, 18:58

Buonasera a tutti. Stavo studiando meccanica analitica e mi sono imbattuto in un dubbio che non riesco a risolvere. Nel seguito allego le foto delle dispense che sto leggendo:

Immagine


Immagine

Quello che non riesco bene a capire è per quale motivo il massimo spostamento sia nella direzione dell'autovalore più piccolo. Mi torna se mi riduco ad una dimensione in cui di fatto la matrice Hessiana è un numero, ma non riesco a capire come si dimostrerebbe in generale. So che l'argomento è fisica, ma il dubbio ha carattere più matematico quindi ho pensato di postare qui.
Grazie in anticipo :D
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Re: Dubbio teorico autovalori di un'hessiana

Messaggioda dissonance » 23/04/2020, 19:35

Queste foto non fanno venire voglia di rispondere, è una seccatura aprire le immagini, stare a leggere tutto quel papiro per indovinare quale potrebbe essere il tuo dubbio. Se tu scrivessi una domanda auto-contenuta sarebbe molto meglio.

Comunque, immagino che il teorema spettrale risolve completamente il tuo dubbio. La matrice Hessiana è simmetrica, e quindi, per ogni \(x\in\mathbb R^n\), esiste un sistema di coordinate cartesiane ortogonali che la diagonalizzano. Ti puoi quindi ridurre a studiare una funzione con matrice Hessiana diagonale, e qui la risposta al tuo dubbio è molto più semplice.
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Re: Dubbio teorico autovalori di un'hessiana

Messaggioda Shikari » 23/04/2020, 22:22

dissonance ha scritto:Queste foto non fanno venire voglia di rispondere, è una seccatura aprire le immagini, stare a leggere tutto quel papiro per indovinare quale potrebbe essere il tuo dubbio. Se tu scrivessi una domanda auto-contenuta sarebbe molto meglio.

Comunque, immagino che il teorema spettrale risolve completamente il tuo dubbio. La matrice Hessiana è simmetrica, e quindi, per ogni \(x\in\mathbb R^n\), esiste un sistema di coordinate cartesiane ortogonali che la diagonalizzano. Ti puoi quindi ridurre a studiare una funzione con matrice Hessiana diagonale, e qui la risposta al tuo dubbio è molto più semplice.

Mi dispiace che sia così lungo, ma non vedo come avrei potuto fare la domanda senza contestualizzare tutto il resto, considerando che nel punto che non mi torna ci sono varie cose definite in precedenza. Anche scrivendo da solo sarebbe stata una domanda molto lunga. Comunque che la matrice Hessiana sia diagonalizzabile mi torna, ma continuo comunque a non capire per quale motivo la direzione di massimo spostamento sia quella lungo l'autovalore più piccolo. E se poi l'autovalore più piccolo avesse molteplicità geometrica 2? In quel caso ci sarebbe un autospazio piano di direzioni con l'autovalore più piccolo. Non riesco proprio a capire
..
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Re: Dubbio teorico autovalori di un'hessiana

Messaggioda dissonance » 23/04/2020, 22:33

Supponiamo che \(x_0=0\) e che \(f(0)=0\), e anche \(\nabla f(0)=0\), per semplificare le formule. Allora
\[
f(x)=\frac12 x^t Hf(0)x + o(|x|^2).\]
Ora supponiamo che la matrice \(Hf(0)\) sia diagonale, cosa che, come abbiamo detto, possiamo sempre fare;
\[
Hf(0)=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0& \ldots & \ldots\\ 0& \lambda_2 & \ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots\end{bmatrix}.\]
Quindi
\[
f(x)=\lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 +\ldots +\lambda_n x_n^2 + o(|x|^2).\]
Trascurando l'errore, dovresti poter rispondere a tutti i dubbi usando questa formula
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Re: Dubbio teorico autovalori di un'hessiana

Messaggioda Shikari » 24/04/2020, 09:15

dissonance ha scritto:Supponiamo che \(x_0=0\) e che \(f(0)=0\), e anche \(\nabla f(0)=0\), per semplificare le formule. Allora
\[
f(x)=\frac12 x^t Hf(0)x + o(|x|^2).\]
Ora supponiamo che la matrice \(Hf(0)\) sia diagonale, cosa che, come abbiamo detto, possiamo sempre fare;
\[
Hf(0)=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0& \ldots & \ldots\\ 0& \lambda_2 & \ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots\end{bmatrix}.\]
Quindi
\[
f(x)=\lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 +\ldots +\lambda_n x_n^2 + o(|x|^2).\]
Trascurando l'errore, dovresti poter rispondere a tutti i dubbi usando questa formula


Continuo a non capire...
Userò la scrittura delle dispense per spiegare cosa non mi torna così magari puoi correggere dove sbaglio. Sviluppando il potenziale \(U(q)\) attorno al minimo ottengo, ignorando la costante e l'o-piccolo:
\[U(q)=\frac12 U_{ij}\eta_i\eta_j\]
Diagonalizzando:
\[U(q)=\frac12 U_{ii}\eta_i^2\]
Ora, l'impostazione porta alla condizione che sia:
\[\frac12 U_{ii}\eta_i^2<= \epsilon\]
Bene, suppongo dapprima che lo spostamento abbia componente solo lungo l'autovalore più piccolo, sia \(U_{22}\), e che sia il massimo consentito dalla disuguaglianza, direi che il modulo di tale vettore, che in componenti è \((0,\eta_2,0,...,0)\), siaproprio \(|\frac{2\epsilon}{U_{22}}|\). Se adesso considero un qualsiasi spostamento che sia in una direzione combinazione lineare della direzione dell'autovalore più piccolo con un altra, ad esempio la direzione associata a \(U_{11}\), non avrei un vettore che (assumendo che le sue componenti \((\eta_1,\eta_2,0,...,0)\) consentano il massimo valore consentito dalla diseguaglianza) ha modulo \(\sqrt{\eta_2^2+\frac{2\epsilon}{U_{11}}-\frac{U_{22}}{U_{11}}\eta_2^2}\) ? come faccio a dire che è minore del modulo dello spostamento solo lungo l'autovalore più piccolo?... ci sarà sicuramente un mio errore ma non riesco davvero a capire.
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