Ho un dubbio, forse un pò stupido, e penso sia dovuto al fatto che il mio libro di geometria ed algebra lineare ha un bel pò di polvere sopra.
Prima di entrare nella parte "clou" del discorso che sono tutte le possibili intersezioni di una sfera con un cilindro, voglio partire dal caso più semplice, quello di un cilindro il cui asse passa per il centro della sfera. Immaginiamo di voler calcolare il volume della regione D:
$D={(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2+z^2<=4, x^2 + y^2>=1, z>=0}$
Dovrebbe essere qualcosa del genere, una sfera "perforata" da un cilindro:
Procedendo con integrazione per strati, le intersezioni con i piani del tipo $z=costante$ sono delle corone circolari. Devo trovare il minimo ed il massimo valore di z per cui queste intersezioni sono non vuote. Ovviamente $z_min = 0$, ora devo trovare $z_max$, metto a sistema le equazioni del cilindro e della sfera, ed ottengo:
$\{(x^2+y^2+z^2=4),(x^2 + y^2=1):}$
quindi, prendendo solo la soluzione positiva ($z>=0$) ottengo:
$\{(z=sqrt(3)),(x^2 + y^2=1):}$
Da che mi ricordi, queste dovrebbero essere le equazioni che descrivono una circonferenza in $RR^3$, quindi semplicemente sarà l'intersezione tra il piano con il cilindro. Quindi $z_max = sqrt(3)$.
Innanzitutto vorrei sapere se il ragionamento e giusto, e poi vorrei capire qual è la regola generale che c'è alla base, o in alternativa se c'è un altro modo per verificare per quale valore di z massimo per il quale le intersezioni non siano vuote.
Una volta capito questo, vi esporrei il mio dubbio sulla curva di Viviani. Vi ringrazio
P.S. Non pubblico in geometria perchè dopo, alla base del mio dubbio c'è il calcolo di un integrale