Salve a tutti,
il problema è questo : stavo affrontando questo limite
$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x $
e penso mah all' interno del logaritmo esterno vi è una quantità che tende a uno , perciò data l' equivalenza asintotica
$ (ln(1+x))/x ~ 1 $
che vale se x tende 0 ( senza sapere che le regole del principio di sostituzione degli infinitesimi dicono che non è possibile farlo in caso di funzioni composte) sostituisco all' argomento del logaritmo esterno 1 ottenendo
$ lim_(x -> 0) (ln ( 1)/x ) $
Ora vorrei usare il limite notevole
$ lim_(x -> 0) (ln ( 1+x))/x = 1 $
ma nell' argomento del logaritmo del mio limite non vi è un (1+x) bensì un (1), quantità che entrambe tendono a 1 per x tendente a 0 . Ed è qui che sorge il mio problema : per quale motivo il limite è
$ lim_(x -> 0) (ln ( (ln(1+x))/x))/x = -1/2 $
e invece non viene 1 al quale ci si arriva applicando il limite notevole che prima non ho applicato? Alla fine dei conti la quantità nell' argomento del logaritmo esterno del mio limite tende a 1
$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $
e cosi intendendo anche nel limite notevole
$ lim_(x -> 0) (ln (( 1+x)rarr 1))/x = 1 $
Quindi come è possibile che il limite faccia -(1/2)? Devo presumere che il modo in cui
$ ((ln(1+x))/x)rarr 1 $ per x tendente a 0
sia diverso dal modo in cui
$ 1+x rarr 1 $ per x tendente a 0
??