Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 15:37

Ciao ragzzi non capisco dove sbaglio.
Cerco di scomporre l'integrale usando il metodo dei fratti semplici visto che il grado al numeratore è minore del grado al denominatore.
Procedo utilizzando il metodo ma mi ritrovo con la stessa funzione

$\int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3dt=$

$= \int (4t)/(1-t^2)^2dt$

$rarr4t=(At+B)/(1-t^2)+(Ct+D)/(1-t^2)^2$

$rarr 4t=(At+B)(1-t^2)+Ct+D$

$rarr 4t=(-A)t^3+(-B)t^2+(A+C)t+(B+D)$

$rarr {(-A=0),(-B=0),(A+C=4),(B+D=0)$

$rarr =(4t)/(1-t^2)^2$
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 16:05

Perché è già decomposta in fratti semplici, neanche ne avresti bisogno poi: prova a porre $1-t^2=u$ nell'integrale.
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 16:37

Non trovo vie di uscita con questa sostituzione.
Nel testo prosegue trasformando la funzione in somma di funzioni semplici in questo modo:

$-(4t)/(1-t^2)^2+(8t)/(1+t^2)^3$

Non riesco a capire come ha fatto a trovare questa somma di funzioni
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 16:43

Sul tuo testo c'è scritto che $\frac{4t}{(1-t^2)^2}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$?
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 15/05/2020, 16:56

No uguale a questo $rarr (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 = $
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda Mephlip » 15/05/2020, 17:04

Che è la stessa cosa, perché $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=\frac{4t}{(1-t^2)^2}$.
Comunque andiamo bene, che testo è per curiosità? L'identità è falsa in generale, infatti se prendi $t=2$ e lo sostituisci in $\frac{4t(1-t^2)}{(1-t^2)^3}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}+\frac{8t}{(1+t^2)^3}$ ti viene a sinistra $\frac{8}{9}$ e a destra un numero negativo.
Quindi ribadisco, prova la sostituzione che ti ho consigliato in
$$\int \frac{4t}{(1-t^2)^2} \text{d}t$$
Come mai dici che non trovi via d'uscita con questa sostituzione? Scriveresti i conti per favore?
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda gugo82 » 15/05/2020, 17:05

@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda pilloeffe » 15/05/2020, 18:50

Ciao smule98,

Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:

$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 18/05/2020, 14:04

gugo82 ha scritto:@ smule98: "Nel testo" quale? Che libro usi?


Sono delle dispense del profressore
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Re: Decomposizione della funzione razionale integranda

Messaggioda smule98 » 18/05/2020, 14:16

pilloeffe ha scritto:Ciao smule98,

Comunque se osservi quel quadrato lì a denominatore e tieni presente la formula della derivata di un quoziente l'integrale proposto è praticamente immediato:

$ \int (4t(1-t^2))/(1-t^2)^3 \text{d}t = \int (4t)/(1-t^2)^2 \text{d}t = 2/(1 - t^2) + c $

Mmh non capisco però che "regola" hai usato, cioè non fa parte degli integrali notevoli...
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