risoluzione equazione differenziale di primo ordine

Messaggioda Cristino » 17/05/2020, 18:24

Salve a tutti ragazzi, spero di stare scrivendo nella sezione giusta.
Facendo qualche esercizio sulle equazioni differenziali mi sono imbattuto in questo problema:

- Si consideri il problema di Cauchy
$\{(u'(t)=(u-1/u)t),(u(0)=k):}$

dove $k$ $in$ $RR$ $/{0}$

1) si determinino i valori di k per cui il problema ha una soluzione costante;
2) si risolva il problema per $k=sqrt(2)$, determinando in particolare il dominio della soluzione trovata.

e niente, sono fermo al primo punto. Io avevo provato a porre $(u-1/u)=0$ per trovare le soluzioni costanti, ma a quanto pare ho sbagliato e non saprei in che altro modo procedere.
Ringrazio chiunque mi risponderà :D
Cristino
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Re: risoluzione equazione differenziale di primo ordine

Messaggioda Masaki » 17/05/2020, 18:38

Supponi che $u(t) \ne 0$, risolvi esplicitamente l'equazione differenziale (è a variabili separabili) e a posteriori verifica l'ansatz. Una volta che hai la soluzione in mano è abbastanza semplice vedere che per $k = \pm 1$ la soluzione è costante.

In alternativa, puoi procedere come hai fatto tu e dalla condizione $u'=0$ ricavare l'equazione $u^2-1=0$ che per l'appunto è risolta da $u=1$ e $u=-1$
Ultima modifica di Masaki il 17/05/2020, 18:50, modificato 1 volta in totale.
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Re: risoluzione equazione differenziale di primo ordine

Messaggioda pilloeffe » 17/05/2020, 18:43

Ciao Cristino,
Cristino ha scritto:ma a quanto pare ho sbagliato

Perché dici che hai sbagliato? Dall'equazione che hai scritto, posto che naturalmente deve essere $u \ne 0 $, moltiplicando per $u $ trovi proprio le due soluzioni costanti.
Quanto al resto, si tratta di un'equazione differenziale di Bernoulli di piuttosto semplice soluzione:

$u(t) = \pm \sqrt{ce^{t^2} + 1} $

Il segno da scegliere dipende proprio da $k$: segno positivo se $k > 0 $, segno negativo se $k < 0 $
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Re: risoluzione equazione differenziale di primo ordine

Messaggioda Cristino » 18/05/2020, 20:13

Grazie per le risposte, ragazzi! Pensavo di aver sbagliato perché nella soluzione mi dava un risultato totalmente diverso, ma mi sono accorto solo poi che era sbagliata la soluzione data dal prof #-o
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