Inversione di una serie geometrica

[kisswolf]

Salve,
ho un problema. Cercherò di esporlo meglio che posso e spero qualcuno possa aiutarmi...

A = 2.00	X = 3.00

C (Step)	B (deviaz., %)
0	0.00
1	2.00	=A
2	8.00	=A+B(n-1)*B(n)
3	26.00	=A+B(n-1)*B(n)
4	80.00	=A+B(n-1)*B(n)
5	242.00	=A+B(n-1)*B(n)
6	etc	=A+B(n-1)*B(n)

A e B sono rispettivamente le deviazioni percentuali iniziale e finale rispetto ad un iniziale 0%.
Al primo step B è uguale ad A.
Dal secondo step in poi B è la percentuale di deviazione iniziale (A) più il valore che B aveva nello step precedente moltiplicato per il fattore di scala X che sto cercando di definire in funzione di A,B e C.
Nella pratica, vorrei ottenere tutte le coppie di valori (A e X, di cui noto solo il primo) che permettono di ottenere una percentuale di deviazione finale B nota, sapendo anche quanti step moltiplicatori (C) ho a disposizione.
Ovvero vorrei capire come cambia X al variare di A in una tabella come quella qui sotto.

B (dev. finale, %)	C (numero di step)
80.00	4

A (dev. iniz. %)	X (moltiplicatore)	FX
1.60	?	=fx(A,B,C)
1.70	?	=fx(A,B,C)
1.80	?	=fx(A,B,C)
2.00	3.000	=fx(A,B,C)
2.10	?	=fx(A,B,C)
2.20	?	=fx(A,B,C)
2.30	?	=fx(A,B,C)
2.40	?	=fx(A,B,C)
etc.	etc.	=fx(A,B,C)

[gabriella127]

Ciao kisswolf, benvenuto sul Forum.
Posso chiederti come mai hai postato la tua domanda nella sezione Economia? Riguarda qualche questione di economia?
Altrimenti potrei spostare il tuo messaggio in Analisi, visto che si parla di serie geometrica, dove forse puoi avere più risposte.

Un'altra domanda. Nella prima tabella parli di un fattore di scala X, e poi nella tabella lo chiami B(n). Cosa è B(n)?

[kisswolf]

Ciao Gabriella127,
grazie della risposta.
Ho postato in questa sezione perchè il problema riproduce quello che in finanza viene definito Dollar Cost Averaging (DCA), ma mi rendo conto che probabilmente ho sbagliato. Forse andrebbe spostato in Analisi.
Per quanto riguarda il fattore di scala X, che ho indicato nella prima tabella (quella con solo le intestazioni, senza valori), ha valore 3.00.
B, invece, è la deviazione percentuale che ottengo dopo aver aggiunto ad un numero generico (per esempio, il prezzo di un asset) una percentuale A moltiplicata per il fattore di scala X, un numero di volte pari a C.
Non so se è il modo giusto di spiegarmi, chiedo scusa per la confusione generata dalla mia incapacità.

[gabriella127]

No, no, non è che hai sbagliato, pensavo che in Analisi puoi trovare più facilmente risposta, visto che comunque non ci sono nozioni di finanza da conoscere per risolvere, è un problema solo matematico.

Quindi nella prima tabella $X$ e $B(n)$ sono la stessa cosa, visto che poi dai calcoli risulta che $B(n)$ è $3$, cioè il valore del fattore fissato $X$.
Quindi quell'indice $n$ in $B(n)$ non serve, questo dicevo. Anche perché sopra la tabella scrivi $X=3$, poi nella tabella $X$ non compare.

Comunque, se non pensi sia necessaria una interazione con persone di finanza, ma solo con matematici, sposto in Analisi di base , dimmi tu.

[kisswolf]

Hai ragione. Ho sbagliato a scrivere la tabella.
La correggo:

A = 2.00	X = 3.00

C (Step)	B (deviaz., %)
0	0.00
1	2.00	=A
2	8.00	=A+B(n-1)*X
3	26.00	=A+B(n-1)*X
4	80.00	=A+B(n-1)*X
5	242.00	=A+B(n-1)*X
6	etc	=A+B(n-1)*X

A e B sono rispettivamente le deviazioni percentuali iniziale e finale rispetto ad un iniziale 0%.
Al primo step B è uguale ad A.
Dal secondo step in poi B è la percentuale di deviazione iniziale (A) più il valore che B aveva nello step precedente moltiplicato per il fattore di scala X che sto cercando di definire in funzione di A,B e C.
Nella pratica, vorrei ottenere tutte le coppie di valori (A e X, di cui noto solo il primo) che permettono di ottenere una percentuale di deviazione finale B nota, sapendo anche quanti step moltiplicatori (C) ho a disposizione.
Ovvero vorrei capire come cambia X al variare di A in una tabella come quella qui sotto.

B (dev. finale, %)	C (numero di step)
80.00	4

A (dev. iniz. %)	X (moltiplicatore)	FX
1.60	?	=fx(A,B,C)
1.70	?	=fx(A,B,C)
1.80	?	=fx(A,B,C)
2.00	3.000	=fx(A,B,C)
2.10	?	=fx(A,B,C)
2.20	?	=fx(A,B,C)
2.30	?	=fx(A,B,C)
2.40	?	=fx(A,B,C)
etc.	etc.	=fx(A,B,C)

[kisswolf]

Sono d'accordo sullo spostare il post in Analisi di base. Grazie ancora Gabriella.

[gabriella127]

Figurati .
Spostato.

[pilloeffe]

Ciao kisswolf,

Usando per comodità le lettere minuscole, la sequenza in questione è la seguente:

$ a ; a(1 + x) ; a(1 + x + x^2) ; a(1 + x + x^2 + x^3) ; a(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) ; ... $

Nel caso particolare $a = 2 $ e $x = 3 $ si ottiene proprio la sequenza

$ 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; 242 ; ... $

Il primo termine è $ a $;
il secondo termine è $ a(1 + x) $;
il terzo termine è $ a(1 + x + x^2) $;
il quarto termine è $ a(1 + x + x^2 + x^3) $;
.
.
.
il $c-\text{esimo} $ termine, ovvero il termine al passo $c$, è il seguente:

$a(1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{c - 1}) = a \sum_{n = 0}^{c - 1} x^n = a \frac{x^c - 1}{x - 1} $

Quindi si può scrivere:

$b(c) = a \frac{x^c - 1}{x - 1} $

[kisswolf]

Grande risposta, pilloeffe !!!
non sarei mai riuscito a dedurre la funzione che definisce $b$ ad ogni passaggio senza fare riferimento esplicito al valore stesso di $b$ in un passaggio precedente.
Ne deriva che $a = b(c) \frac{x - 1}{x^c - 1} $

GRAZZZZZZZZZZZIIIIIIIIEEEEEE!!!!!