Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio d'esame di analisi 2. Il testo è il seguente:
Sia \(\displaystyle \alpha >0 \) e sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \) definita da \(\displaystyle f(x,y)=x^\alpha\cdot ln\left(\frac{x^4+2y^4}{x^4+y^4} \right)\) se \(\displaystyle (x,y)\neq (0,0) \), \(\displaystyle 0 \) altrimenti.
Mi viene chiesto di dire se le due affermazioni siano vere o false:
1. \(\displaystyle f \) non è differenziabile su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) per un numero finito di valori di \(\displaystyle \alpha \)
2. \(\displaystyle \alpha > 1\Rightarrow f\) differenziabile su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \)
Il mio approccio è stato abbastanza qualitativo e poco quantitativo, ma vorrei sviluppare un certo rigore per esercizi di questa tipologia. Il mio problema è nello stabilire la differenziabilità su tutto lo spazio, infatti se fosse richiesta solo in un determinato punto sarebbe sufficiente determinare le derivate parziali mediante definizione (limite di rapporto incrementale) e applicare il teorema che afferma che se \(\displaystyle lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\delta_xf(x_0,y_0)\cdot h - \delta_yf(x_0,y_0)\cdot k}{\sqrt(h^2+k^2)}\) è nullo, allora la funzione è ivi differenziabile.
Nel caso dell'esercizio, invece, non posso neanche impostare un valore definito di \(\displaystyle \alpha \), dato che se ne propone un intervallo.
Il mio passaggio iniziale è stato solamente calcolare le derivate parziali mediante le regole mnemoniche e concludere che la funzione sia sempre differenziabile \(\displaystyle \forall \alpha > 0 \), ma mi sembra un po' semplicistico.
Qualcuno potrebbe indirizzarmi verso un approccio più sistematico? Grazie a tutti!