Risoluzione equazione differenziale al quadrato

[CiccioBenzina]

Buongiorno,
non ho ancora studiato le equazioni differenziali, ma sono incappato in questa formula durante lo studio di meccanica:

$(dz/dt)^2=(dx/dt)^2+sin^2(x)*(dy/dt)^2$

Vorrei sapere se è risolvibile e se è possibile esplicitare la $z$.

Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi.

[gugo82]

Da dove viene il problema?
Chi è l'incognita?

[pilloeffe]

Ciao CiccioBenzina,

Benvenuto sul forum!

Vorrei sapere se è risolvibile e se è possibile esplicitare la $z$.

Beh, formalmente esplicitare la $z$ non è un problema:

$(\text{d}z)/(\text{d}t)= \pm \sqrt{((\text{d}x)/(\text{d}t))^2+sin^2(x)\cdot ((\text{d}y)/(\text{d}t))^2} $

Si integra rispetto a $t$ e si trova $z$. Sul fatto che sia risolvibile dipende... Innanzitutto sei sicuro che sia $sin^2(x) $ e non $sin^2(t)$ ?

[CiccioBenzina]

Credo che effettuare l'integrale di $\pm \sqrt{((\text{d}x)/(\text{d}t))^2+sin^2(x)\cdot ((\text{d}y)/(\text{d}t))^2} $ sia un bel problema e comunque non lo saprei fare.

L'incognita è la $z$ e sì, sono certo che sia $sin^2(x)$ e non $sin^2(t)$.

[pilloeffe]

Almeno ci puoi dire chi sono $x(t) $ e $y(t)$?

[Mephlip]

Credo che effettuare l'integrale di $\pm \sqrt{((\text{d}x)/(\text{d}t))^2+sin^2(x)\cdot ((\text{d}y)/(\text{d}t))^2} $ sia un bel problema e comunque non lo saprei fare.

Dipende da chi sono $x(t)$ e $y(t)$, ad esempio se $x(t)=0$ e $y(t)=0$ per ogni $t$ allora l'integrazione è fattibile.

Ti è stato chiesto da dove viene il problema perché, a volte, il contesto (specialmente in fisica) permette di assumere ulteriori ipotesi e semplificare il problema al punto da renderlo fattibile.

[gugo82]

Ti è stato chiesto da dove viene il problema perché, a volte, il contesto (specialmente in fisica) permette di assumere ulteriori ipotesi e semplificare il problema al punto da renderlo fattibile.

Appunto... Inoltre, conoscere il problema può consentire la scelta di strategie risolutive che non siano tanto stereotipate come "devo trovare la soluzione esplicita", che è un tipico retaggio delle scuole (in quelle in cui vale l'uguaglianza Matematica = fare i calcoli).